量子場(chǎng)論（應(yīng)用于粒子物理學(xué)中的物理理論）
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量子場(chǎng)論
應(yīng)用于粒子物理學(xué)中的物理理論
量子場(chǎng)論(Quantum Field Theory, QFT)，量子場(chǎng)論是量子力學(xué)和經(jīng)典場(chǎng)論相結(jié)合的物理理論，已被廣泛的應(yīng)用于粒子物理學(xué)和凝聚態(tài)物理學(xué)中。量子場(chǎng)論為描述多粒子系統(tǒng)，尤其是包含粒子產(chǎn)生和湮滅過程的系統(tǒng)，提供了有效的描述框架。量子場(chǎng)論的實(shí)效理論應(yīng)用也是與2013年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的“希格斯粒子場(chǎng)”的微觀量子粒子的關(guān)聯(lián)，作為量子場(chǎng)粒子的中介子的媚介粒子“希格斯玻色子”存在和發(fā)現(xiàn)。量子場(chǎng)論包含著黑格斯機(jī)制（希格斯粒子場(chǎng)）理論。非相對(duì)論性的量子場(chǎng)論主要被應(yīng)用于凝聚態(tài)物理學(xué)，比如描述超導(dǎo)性的BCS理論。而相對(duì)論性的量子場(chǎng)論則是粒子物理學(xué)不可或缺的組成部分。自然界目前人類所知的有四種基本相互作用：強(qiáng)作用，電磁相互作用，弱作用，引力。
基本信息
| 中文名 | 量子場(chǎng)論 |
| 外文名 | Quantum Field Theory |
| 概念 | |
| 簡(jiǎn)稱 | QFT |
| 定義 | 物理理論 |
簡(jiǎn)介
量子場(chǎng)論的建立基于經(jīng)典場(chǎng)論，狹義相對(duì)論和量子力學(xué)。經(jīng)典場(chǎng)的物理性質(zhì)可以用一些定義在全空間的量描述〔例如電磁場(chǎng)的性質(zhì)可以用電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度或用一個(gè)三維矢量勢(shì)
和一個(gè)標(biāo)量勢(shì)
描述〕。這些場(chǎng)量是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù),它們隨時(shí)間的變化描述場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)?？臻g不同點(diǎn)的場(chǎng)量可以看作是互相獨(dú)立的動(dòng)力學(xué)變量，因此場(chǎng)是具有連續(xù)無窮維自由度的系統(tǒng)。場(chǎng)論是關(guān)于場(chǎng)的性質(zhì)、相互作用和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論。量子場(chǎng)論則是在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立和發(fā)展的場(chǎng)論，即把量子力學(xué)原理應(yīng)用于場(chǎng)，把場(chǎng)看作無窮維自由度的力學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)其量子化而建立的理論。量子場(chǎng)論是粒子物理學(xué)的基礎(chǔ)理論，但也被廣泛地應(yīng)用于核理論和凝聚態(tài)理論等近代物理學(xué)的其他許多分支。
量子場(chǎng)論
物理定義
量子場(chǎng)論中，粒子就是場(chǎng)的量子激發(fā)，每一種粒子都有自己相應(yīng)的場(chǎng)。在量子化過程中，玻色場(chǎng)滿足對(duì)易關(guān)系，而費(fèi)米場(chǎng)滿足反對(duì)易關(guān)系。粒子之間的相互作用和動(dòng)力學(xué)可以用量子場(chǎng)論來描述。
目前已知的四種相互作用中，除去引力，另三種相互作用都找到了合適滿足特定規(guī)范對(duì)稱性的量子場(chǎng)論（或者說Yang-Mills場(chǎng)）來描述。強(qiáng)相互作用有量子色動(dòng)力學(xué)（QCD，Q保羅·狄拉克uantum Chromodynamics)；電磁相互作用有量子電動(dòng)力學(xué)（QED,Quantum Electrodynamics)，理論框架建立于1920到1950年間，主要的貢獻(xiàn)者為保羅·狄拉克，弗拉迪米爾·?？?，沃爾夫?qū)づ堇?/a>，朝永振一郎，施溫格，理查德·費(fèi)曼和迪森等；弱相互作用有四費(fèi)米子點(diǎn)作用理論。在弱相互作用中，李政道和楊振寧發(fā)現(xiàn)宇稱不守恒。
后來弱相互作用和電磁相互作用實(shí)現(xiàn)了形式上的統(tǒng)一，由Yang-Mills（楊-米爾斯）場(chǎng)來描述，通過希格斯機(jī)制（Higgs Mechanism）產(chǎn)生質(zhì)量，建立了弱電統(tǒng)一的量子規(guī)范理論，即GWS（Glashow, Weinberg, Salam）模型。之后，量子場(chǎng)論也成為現(xiàn)代理論物理學(xué)的主流方法和工具。量子場(chǎng)論和標(biāo)準(zhǔn)（亦即非相對(duì)論性）的量子力學(xué)的差別在于，任何特殊種類的粒子的數(shù)目不必是常數(shù)。每一種粒子都有其反粒子（有時(shí)，諸如光子，反粒子和原先粒子是一樣的）。一個(gè)有質(zhì)量的粒子和它的反粒子可以湮滅成能量，并且這樣的正反粒子對(duì)可由能量產(chǎn)生出來。的確，甚至粒子數(shù)也不必是確定的；因?yàn)椴煌Ｗ訑?shù)的態(tài)的線性疊加是允許的。目前最精確的量子場(chǎng)論是“量子電動(dòng)力學(xué)”--關(guān)于帶電粒子和光子的理論。該理論的預(yù)言具有令人印象深刻的精確性。然而，，這個(gè)理論在建立之初，無窮大的發(fā)散積分會(huì)出現(xiàn)在量子圈圖修正中，必須用稱為“重正化”的步驟才能把這些發(fā)散消除。并不是所有量子場(chǎng)論都可以用重正化來補(bǔ)救的。即使是可行的話，其計(jì)算也是非常困難的?！奥窂椒e分[1]”是量子力學(xué)的一個(gè)重要的方法。它不僅把不同粒子態(tài)（通常的波函數(shù)）而且把物理行為的整個(gè)空間--時(shí)間歷史的量子線性疊加而形成的（參閱費(fèi)曼1985年的通俗介紹）。但是，量子場(chǎng)論中路徑積分自身也有附加的無窮大，人們只有引進(jìn)不同的“數(shù)學(xué)技巧”才能賦予意義。
基于自旋和標(biāo)度規(guī)范對(duì)稱性以及物理規(guī)律坐標(biāo)無關(guān)的假設(shè)，2016年吳岳良提出了引力規(guī)范場(chǎng)的量子場(chǎng)論。引進(jìn)雙標(biāo)架時(shí)空概念，即整體平坦坐標(biāo)時(shí)空和局域平坦引力場(chǎng)時(shí)空?；疽?chǎng)不再是坐標(biāo)時(shí)空的度規(guī)場(chǎng)，而是定義在雙標(biāo)架時(shí)空上的規(guī)范型雙協(xié)變矢量場(chǎng)。自旋和標(biāo)度規(guī)范對(duì)稱性支配引力相互作用，將量子場(chǎng)論發(fā)展為引力量子場(chǎng)論。
量子場(chǎng)論
建立概念
經(jīng)典場(chǎng)論
（例如J.C.麥克斯韋的電磁場(chǎng)論）中場(chǎng)量滿足對(duì)空間坐標(biāo)和時(shí)間的偏微分方程，因此經(jīng)典場(chǎng)是以連續(xù)性為其特征的。按照量子物理學(xué)的原理，微觀客體都具有粒子和波、離散和連續(xù)的二象性。在初等量子力學(xué)中對(duì)電子的描述是量子性的，通過引進(jìn)相應(yīng)于電子坐標(biāo)和動(dòng)量的算符和它們的對(duì)易關(guān)系實(shí)現(xiàn)了單個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的量子化，但是它對(duì)電磁場(chǎng)的描述仍然是經(jīng)典的。這樣的理論沒有反映電磁場(chǎng)的粒子性，不能容納光子，更不能描述光子的產(chǎn)生和湮沒。因此，初等量子力學(xué)雖然很好地說明了原子和分子的結(jié)構(gòu)，卻不能直接處理原子中光的自發(fā)輻射和吸收這類十分重要的現(xiàn)象。
電磁場(chǎng)
1926年Born，Heisenberg和Jordan提出將電磁場(chǎng)作為一個(gè)具有無窮維自由度的系統(tǒng)進(jìn)行量子化的方案，1927年Dirac做出更令人信服的論證。電磁場(chǎng)可以按本征振動(dòng)模式作傅里葉分解，每種模式具有一定的波矢k,頻率ωk和偏振方式
。因此自由電磁場(chǎng)(不存在與其相互作用的電荷和電流)可以看作無窮多個(gè)沒有相互作用的諧振子的系統(tǒng)，每個(gè)諧振子對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征振動(dòng)模式。根據(jù)量子力學(xué),這個(gè)系統(tǒng)具有離散的能級(jí)
是非負(fù)整數(shù)。對(duì)基態(tài),所有的 
，激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為光子,nk,s是具有波矢k極化s的光子數(shù),啚ωk是每個(gè)光子的能量。還可以證明K是光子的動(dòng)量，極化s對(duì)應(yīng)于光子自旋的取向。
按照普遍的波粒二象性觀點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)可以在同樣的基礎(chǔ)上描述電子。這要求把原先用來描述單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)看作電子場(chǎng)并實(shí)現(xiàn)其量子化。與光子不同的是電子服從泡利不相容原理。1928年E.P.約旦和E.P.維格納提出了符合于這個(gè)要求的量子化方案。對(duì)于非相對(duì)論性多電子系統(tǒng)，他們的方案完全等價(jià)于通常的量子力學(xué)，在量子力學(xué)文獻(xiàn)中被稱為二次量子化。（后來，狄拉克找到描述相對(duì)性電子場(chǎng)的方程，）場(chǎng)
,量子化自由電子場(chǎng)的激發(fā)態(tài)相應(yīng)于一些具有不同動(dòng)量和自旋的電子和正電子，每個(gè)狀態(tài)最多只能有一個(gè)電子和一個(gè)正電子。下一步是考慮電磁場(chǎng)與電子場(chǎng)的相互作用并把理論推廣到其他的粒子，例如核子和介子。描述電子場(chǎng)和電磁場(chǎng)相互作用的量子場(chǎng)論稱為量子電動(dòng)力學(xué)，它是電磁作用的微觀理論。
量子
1929年W.K.海森伯和W.泡利建立了量子場(chǎng)論的普遍形式。按照量子場(chǎng)論，相應(yīng)于每種微觀粒子存在著一種場(chǎng)。設(shè)所研究的場(chǎng)的系統(tǒng)可以用N個(gè)互相獨(dú)立的場(chǎng)量
描述，這里X是點(diǎn)的空間坐標(biāo),t是時(shí)間。各點(diǎn)的場(chǎng)量可以看作是力學(xué)系統(tǒng)的無窮多個(gè)廣義坐標(biāo)。在力學(xué)中可以定義與這些廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的正則動(dòng)量,記作
。根據(jù)量子力學(xué)原理,引入與這些量對(duì)應(yīng)的算符
和
。對(duì)于整數(shù)自旋的粒子,可以按照量子力學(xué)寫出這些算符的正則對(duì)易關(guān)系。對(duì)半整數(shù)自旋的粒子則按照約旦和維格納的量子化方案，用場(chǎng)的反對(duì)易關(guān)系。在給定由和組成的哈密頓算符后,可以按量子力學(xué)寫出場(chǎng)量滿足的海森伯運(yùn)動(dòng)方程式，它們是經(jīng)典場(chǎng)方程的量子對(duì)應(yīng)。量子力學(xué)還給出計(jì)算各種物理量的期待值以及各種反應(yīng)過程的幾率的規(guī)則。像通常力學(xué)中的量子場(chǎng)論導(dǎo)論情形一樣，也可以等價(jià)地選取其他的廣義坐標(biāo)，例如取場(chǎng)量
的傅里葉分量作為廣義坐標(biāo)。在用到自由電磁場(chǎng)時(shí)，就得到前面已經(jīng)敘述的結(jié)果。量子場(chǎng)論的這種表述形式稱為正則量子化形式。量子場(chǎng)論還有一些基本上與正則量子化形式等價(jià)的表述形式，其中最常用的是費(fèi)曼于1948年建立的路徑積分形式。在進(jìn)行場(chǎng)的量子化時(shí)，必須使理論保持一定的對(duì)稱性。在涉及高速現(xiàn)象的粒子物理學(xué)中，滿足相對(duì)論不變性是對(duì)理論的一個(gè)基本要求。除此以外，還必須保證所得的結(jié)果符合量子統(tǒng)計(jì)的要求，即符合正確的自旋統(tǒng)計(jì)關(guān)系。在量子場(chǎng)論中這些要求都達(dá)到了。在量子場(chǎng)論的框架內(nèi)給出了自旋統(tǒng)計(jì)關(guān)系的一般證明。
量子場(chǎng)論給出的物理圖像是：在全空間充滿著各種不同的場(chǎng)，它們互相滲透并且相互作用著；場(chǎng)的激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為粒子的出現(xiàn)，不同激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為粒子的數(shù)目和狀態(tài)不同，場(chǎng)的相互作用可以引起場(chǎng)激發(fā)態(tài)的改變，表現(xiàn)為粒子的各種反應(yīng)過程，在考慮相互作用后，各種粒子的數(shù)目一般不守恒，因此量子場(chǎng)論可以描述原子中光的自發(fā)輻射和吸收，以及粒子物理學(xué)中各種粒子的產(chǎn)生和湮沒的過程，這也是量子場(chǎng)論區(qū)別于初等量子力學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)。所有的場(chǎng)處于基態(tài)時(shí)表現(xiàn)為真空。從上述量子場(chǎng)論的物理含義可以知道真空并非沒有物質(zhì)。處于基態(tài)的場(chǎng)具有量子力學(xué)所特有的零點(diǎn)振動(dòng)和量子漲落。在改變外界條件時(shí)，可以在實(shí)驗(yàn)中觀察到真空的物理效應(yīng)。例如在真空中放入金屬板時(shí)，由于真空零點(diǎn)能的改變而引起的兩個(gè)不帶電的金屬板的作用力（卡西米爾效應(yīng)）以及由于在外電場(chǎng)作用下真空中正負(fù)電子分布的改變導(dǎo)致的真空極化現(xiàn)象。量子場(chǎng)論本質(zhì)上是無窮維自由度系統(tǒng)的量子力學(xué)。在量子統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理等物理學(xué)分支中，研究的對(duì)象是無窮維自由度的系統(tǒng)。在這些分支中，人們感興趣的自由度往往不是對(duì)應(yīng)于基本粒子的運(yùn)動(dòng)而是系統(tǒng)中的集體運(yùn)動(dòng)，例如晶體或量子液體中的波動(dòng)。這種波動(dòng)可以看作波場(chǎng)，而且它們也服從量子力學(xué)的規(guī)律，因此量子場(chǎng)論同樣可以應(yīng)用于這些問題。
微擾論
在考慮相互作用后,還不能求得量子場(chǎng)論方程的精確解，必須采用近似計(jì)算方法。較早發(fā)展起來的量子場(chǎng)論的計(jì)算方法是在量子電動(dòng)力學(xué)中首先采用的微擾的方法。在量子電動(dòng)力學(xué)中，考慮到電子場(chǎng)和電磁場(chǎng)相互作用的耦合常數(shù)(即電子的電荷) e是一個(gè)小量，把哈密頓量中代表相互作用的項(xiàng)作為對(duì)自由場(chǎng)哈密頓量的微擾來處理。這樣各種反應(yīng)過程的振幅可表成耦合常數(shù) e的冪級(jí)數(shù)，微擾論方法是逐階計(jì)算冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。考慮到耦合常數(shù)很小，只要計(jì)算冪級(jí)數(shù)的前面幾個(gè)低次項(xiàng)，就可以得到足夠精確的近似結(jié)果。在一般的量子場(chǎng)論問題中，如果耦合常數(shù)足夠小，也可以類似地用微擾論的方法處理。1946～1949年朝永振一郎、J.S.施溫格和費(fèi)曼等人發(fā)展一套新的微擾論計(jì)算方法，這種微擾論方法具有形式簡(jiǎn)單、便于計(jì)算并且明顯保持相對(duì)論協(xié)變性的優(yōu)點(diǎn)。特別是,費(fèi)曼引入了圖形表示法和相應(yīng)的物理圖像,提供了寫出微擾論任意階項(xiàng)的系統(tǒng)的方法──而且這種方法有很強(qiáng)的直觀性。
非微擾
處理量子場(chǎng)論問題的微擾論方法有它的局限性，它要求耦合常數(shù)很小，即屬于弱耦合的情況。耦合強(qiáng)到一定程度后微擾論展開式的頭幾項(xiàng)就不再是好的近似。因此在量子場(chǎng)論發(fā)展過程中已經(jīng)針對(duì)不同問題的需要發(fā)展了許多種非微擾方法，如色散關(guān)系理論、公理化場(chǎng)論、流代數(shù)理論、半經(jīng)典近似方法、重正化群方法、格點(diǎn)規(guī)范理論等。這些方法的出發(fā)點(diǎn)各不相同，基本上可以歸為兩類。一類是直接根據(jù)場(chǎng)論的基本原理和普遍的對(duì)稱性要求，給出一般的限制和預(yù)言。這類理論的典型例子是色散關(guān)系理論和公理化場(chǎng)論。這種做法雖然比較嚴(yán)格，但正因?yàn)槭瞧毡榈挠懻?，就不可能?duì)許多具體問題作出細(xì)致的回答，所得的結(jié)果有很大的局限性。
另一類是找尋另一種近似方案，用另一個(gè)小參量代替耦合常數(shù)來作某種近似處理。因?yàn)樽鹘茣r(shí)不再以耦合常數(shù)的冪次為依據(jù)，所以有時(shí)對(duì)強(qiáng)耦合也能應(yīng)用。例如,格點(diǎn)規(guī)范理論的強(qiáng)耦合展開式就帶有這樣的特點(diǎn)。這樣的理論雖然可以解除微擾論所受的限制，但卻受這種理論本身所取近似條件的限制。還沒有非常有力的非微擾方法。在格點(diǎn)規(guī)范理論的研究中發(fā)展了用有限的點(diǎn)陣上的量代替無限的連續(xù)的時(shí)空中的場(chǎng)，利用電子計(jì)算機(jī)作蒙特—卡羅模擬的方法。雖然這不再是無窮維自由度的系統(tǒng)，如果所取點(diǎn)陣的尺度與所研究的現(xiàn)象有關(guān)的主要過程作用的范圍相當(dāng)，它不失為一種量子場(chǎng)論的近似方法。
重正化
發(fā)散困難和重正化
概述
在用量子電動(dòng)力學(xué)計(jì)算任何物理過程時(shí)，盡管用微擾論最低階近似計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)是近似符合的，但進(jìn)一步計(jì)算高階修正時(shí)卻都得到無窮大的結(jié)果。同樣的問題也存在于其他的相對(duì)論性量子場(chǎng)論中，這就是量子場(chǎng)論中著名的發(fā)散困難。
根源
在于：在相對(duì)論性量子場(chǎng)論中，微觀粒子實(shí)際上被看作一個(gè)點(diǎn)。即使在經(jīng)典場(chǎng)論中，如果把電子看作一個(gè)點(diǎn)，由電子產(chǎn)生的電磁場(chǎng)對(duì)本身的作用而引起的電磁質(zhì)量也是無窮大的。在量子場(chǎng)論中發(fā)散有更多的形式，它們都起源于粒子產(chǎn)生的場(chǎng)對(duì)本身的自作用。發(fā)散困難的存在表示量子場(chǎng)論不能應(yīng)用到很小的距離或者很大的動(dòng)量。有不少修改量子場(chǎng)論基本假設(shè)的嘗試，但都不成功。除這種嘗試外，有的嘗試甚至認(rèn)為微觀粒子（電子和夸克）可能并不是最基本的，比如弦理論認(rèn)為基本粒子在更小尺度或者更高能量下表現(xiàn)為弦，這樣就必須會(huì)改變點(diǎn)粒子場(chǎng)論在小距離處的結(jié)果。另一方面，現(xiàn)有的量子場(chǎng)論并沒有成功地將引力納入進(jìn)來進(jìn)行統(tǒng)一的描述，引力將改變時(shí)空本身的結(jié)構(gòu)，如引力量子場(chǎng)論，標(biāo)度規(guī)范不變性表明基本理論應(yīng)存在一個(gè)基本能量標(biāo)度。
在現(xiàn)有量子場(chǎng)論的框架內(nèi)，發(fā)散困難用重正化的方法得到部分的解決?，F(xiàn)有的量子場(chǎng)論可以分為兩類。在第一類場(chǎng)論中所有的發(fā)散因子都可以歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)物理參量的發(fā)散。如果重新調(diào)整這幾個(gè)參量,使它們?nèi)?shí)驗(yàn)要求的數(shù)值,對(duì)其他的物理量仍可用現(xiàn)有的理論計(jì)算，如果按重正化的耦合常數(shù)作微擾展開就可以得到有限的結(jié)果。這類理論稱為可重正化的。量子電動(dòng)力學(xué)屬于這一類。在量子電動(dòng)力學(xué)中，帶電粒子的質(zhì)量，場(chǎng)和電荷需要重正化。重正化計(jì)算的合理性在于：如果理論需要作的修改只限于充分小的距離范圍之內(nèi)，這些不發(fā)散的物理量受到的影響是很小的。另一類理論中有無窮多個(gè)物理參量發(fā)散，這類理論稱為不可重正化的。至少還沒有辦法用不可重正化的理論作包括粒子自作用的計(jì)算。1949年左右，施溫格和費(fèi)曼等人首先用新式的微擾論作量子電動(dòng)力學(xué)中的重正化計(jì)算。重正化的普遍理論及其嚴(yán)格證明經(jīng)過H.H.博戈留博夫、O.C.帕拉修克、K.赫普和W.齊默爾曼等人的研究在60年代中才完成。量子電動(dòng)力學(xué)的重正化微擾論計(jì)算在很高的精度上與電子自旋磁矩和μ子的反常磁矩（見μ子和電子回磁比）及原子能級(jí)的蘭姆移位的實(shí)驗(yàn)符合，迄今量子電動(dòng)力學(xué)通過了所有實(shí)驗(yàn)的考驗(yàn)，這些實(shí)驗(yàn)表明量子電動(dòng)力學(xué)在大于
處是正確的。量子電動(dòng)力學(xué)的成功是重正化量子場(chǎng)論的實(shí)驗(yàn)證實(shí)。
在量子場(chǎng)論微擾圈圖計(jì)算其量子修正過程中遇到的無窮大發(fā)散，通常是由于微擾積分沒有很好地定義，解決的辦法是利用正規(guī)化方法首先對(duì)發(fā)散積分進(jìn)行合適的處理，以便使發(fā)散積分有很好的定義。幾種常用的正規(guī)化方案包括動(dòng)量截?cái)嗾?guī)化，Pauli-Villar正規(guī)化，維數(shù)正規(guī)化和圈正規(guī)化。維數(shù)正規(guī)化是由t ’Hooft和Veltman為處理Yang-Mills場(chǎng)中的發(fā)散而發(fā)展起來的。圈正規(guī)化方案是由吳岳良于2003年提出和發(fā)展的，它不改變?cè)欣碚?，能夠保持理論自身的?duì)稱性，包括動(dòng)量平移不變性，規(guī)范對(duì)稱性和超對(duì)稱等，同時(shí)保持原有發(fā)散積分的冪次。
數(shù)學(xué)聯(lián)系
雖然量子場(chǎng)論沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是物理學(xué)家（主要是弦論學(xué)家）應(yīng)用量子場(chǎng)論的方法與技巧可以得到很多數(shù)學(xué)家難以想象的結(jié)果。上世紀(jì)八十年代初，物理學(xué)家使用超對(duì)稱量子力學(xué)的方法給出了指標(biāo)定理的物理證明。隨后八十末，Edward Witten應(yīng)用Dirac代數(shù)中的技巧重新證明了丘成桐用繁雜的技巧證的廣義相對(duì)論中的正質(zhì)量猜想，同樣也是Witten發(fā)展了拓?fù)淞孔訄?chǎng)論，拓?fù)湎艺摚?yīng)用三維Chern-Simons 理論和共形場(chǎng)論的結(jié)果得到了扭結(jié)理論中的Jones多項(xiàng)式。拓?fù)湎艺摵髞戆l(fā)現(xiàn)與極端黑洞的熵有關(guān)。1998年Gopakuma,Vafa發(fā)現(xiàn)了拓?fù)湎遗cChern-Simon理論的大N對(duì)偶。在2003年N. Nekrassov應(yīng)用拓?fù)鋱?chǎng)的方法得到
的超對(duì)稱理論的配分函數(shù)。最近幾年，Vafa及其合作者建立了拓?fù)湎业慕y(tǒng)計(jì)力學(xué)模型，并發(fā)現(xiàn)這一模型可以得到一系列的Wall-Crossing 公式。
應(yīng)用
在物理學(xué)各分支中的應(yīng)用：
量子場(chǎng)論作為微觀現(xiàn)象的物理學(xué)基本理論廣泛應(yīng)用于近代物理學(xué)各個(gè)分支。粒子物理學(xué)的發(fā)展不斷提出場(chǎng)論研究的新課題，并取得了進(jìn)展，它包括復(fù)合粒子場(chǎng)論、對(duì)稱性自發(fā)破缺的場(chǎng)論、Yang-Mills規(guī)范場(chǎng)論和真空理論的新發(fā)展等幾個(gè)互相聯(lián)系著的方面。在研究這些問題時(shí)廣泛應(yīng)用了量子場(chǎng)論的路徑積分和泛函的表達(dá)形式。自60年代后期以來，Yang-Mills規(guī)范場(chǎng)的研究成為場(chǎng)論研究的一個(gè)中心，已經(jīng)解決了這類理論所特有的量子化和重正化方面的問題，闡明了規(guī)范場(chǎng)的一些特殊性質(zhì)。1961年至1968年S.L.格拉肖、S.溫伯格和A.薩拉姆建立的描述統(tǒng)一的弱作用和電磁作用的自發(fā)破缺規(guī)范理論，在1978年至1983年已經(jīng)基本上得到實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。量子色動(dòng)力學(xué)作為描述強(qiáng)相互作用的規(guī)范理論也取得了很大的成功。
數(shù)學(xué)家用的量子場(chǎng)論
在量子電動(dòng)力學(xué)取得成功以后,量子場(chǎng)論在粒子物理學(xué)中取得的這些新成就使人們相信：雖然存在著發(fā)散困難這樣的基本問題和在強(qiáng)耦合下缺少有效的近似方法的困難，量子場(chǎng)論仍然是解決粒子物理學(xué)問題的理論基礎(chǔ)和有力工具。除規(guī)范場(chǎng)論中的一些問題例如所謂囚禁問題仍然是人們注意的中心外，一些新的課題如量子引力理論、超對(duì)稱量子場(chǎng)論等正吸引著人們?nèi)ミM(jìn)行研究。在統(tǒng)計(jì)物理、凝聚態(tài)理論和核理論中廣泛地采用量子場(chǎng)論的格林函數(shù)和費(fèi)曼微擾論方法，它們已經(jīng)成為這些物理學(xué)分支的基本理論工具。費(fèi)曼微擾論方法使得人們可以在微擾論展開式中分出一部分對(duì)所研究的現(xiàn)象起主要作用的項(xiàng)來作部分求和，大大提高了人們解決各種問題的能力。
量子場(chǎng)論方法對(duì)溫度不為零的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)以及超導(dǎo)和量子液體等現(xiàn)象的理論發(fā)展起了非常重要的推動(dòng)作用。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中有些現(xiàn)象本質(zhì)上不一定是量子效應(yīng),但由于是無窮維自由度的問題,它們與量子場(chǎng)論問題在數(shù)學(xué)形式和物理內(nèi)容上都有十分相似之處。量子場(chǎng)論方法對(duì)這些問題也有重要的應(yīng)用。例如，重正化群方法的思想和工具對(duì)解決統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中長(zhǎng)久未能解決的臨界現(xiàn)象問題起了關(guān)鍵性的作用。正因?yàn)榱孔訄?chǎng)論已成為近代物理學(xué)各分支的共同基礎(chǔ)理論，量子場(chǎng)論的任何一個(gè)重要進(jìn)展都會(huì)對(duì)不只是一個(gè)分支的發(fā)展有重要的推動(dòng)作用。
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