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嚴格遞增（數(shù)學(xué)術(shù)語之一）

次瀏覽 | 更新時間：2023-05-20

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嚴格遞增

數(shù)學(xué)術(shù)語之一

遞增(increasing)函數(shù)是指當(dāng)函數(shù)的任何自變量增加的時候，函數(shù)值不減少。

基本信息

中文名	嚴格遞增
拼音	yangedizeng
定義	當(dāng)函數(shù)任何自變量增加的時候，函數(shù)值也增加
出處	數(shù)學(xué)
類型	數(shù)學(xué)術(shù)語
第2項	每一項都大于它的前一項的數(shù)列

收起

嚴格遞增函數(shù)

定義1

遞增(increasing)函數(shù)是指當(dāng)函數(shù)的任何自變量增加的時候，函數(shù)值不減少。嚴格遞增(strongly increasing)是指當(dāng)函數(shù)任何自變量增加的時候，函數(shù)值也增加。類似地，遞減函數(shù)(decreasing)是指當(dāng)函數(shù)的任何自變量增加的時候函數(shù)值不增加，嚴格遞減(strongly decreasing)是指當(dāng)函數(shù)任何自變量增加的時候函數(shù)值卻減少。

定義2

設(shè)

為偏序集，

，如果對任意的

，都有

，則稱

為單調(diào)遞增的；如果對任意的

，都有

，則稱

為嚴格單調(diào)遞增的。

類似的，也可以定義單調(diào)遞減和嚴格單調(diào)遞減的函數(shù)。

舉例分析

例1 單調(diào)遞增函數(shù)的一些例子：

(1)

是嚴格單調(diào)遞增的；

(2)偏序集

，其中

為包含關(guān)系，

為一般的小于或等于關(guān)系。

令

是單調(diào)遞增的，但不是嚴格單調(diào)遞增的。

嚴格遞增數(shù)列

對于一個實數(shù)列

，如果從第2項起，每一項都不小于它的前一項，即有

，這樣的實數(shù)列叫做遞增數(shù)列，也叫做上升數(shù)列；或說這一數(shù)列單調(diào)增加．

如果每一項都大于它的前一項，即

，則把這樣的實數(shù)列叫做嚴格遞增數(shù)列；或說這一數(shù)列嚴格遞增或嚴格單調(diào)增加．

對于一個實數(shù)列

，如果從第2項起，每一項都不大于它的前一項，即有

，這樣的實數(shù)列叫做遞減數(shù)列，也叫做下降數(shù)列，或說這一數(shù)列單調(diào)減少。

如果每一項都小于它的前一項，即

，則把這樣的實數(shù)列叫做嚴格遞減數(shù)列；或說這一數(shù)列嚴格遞減或嚴格單調(diào)減少．

相關(guān)結(jié)論

一個嚴格遞增的連續(xù)函數(shù)，它不處處可微。

下面的例子是由Pringsheim作出的，令

易見，

在

上連續(xù)，因為當(dāng)

時，

所以

在

和

內(nèi)都是嚴恪遞增的，又當(dāng)

時，

，而當(dāng)

時，

，可見

在

內(nèi)也是嚴格遞增的，但由于

不存在，因而

在

處不可微。

注意:有人或許會猜測，嚴格單調(diào)函數(shù)的不可微的點都是一些間斷點，上述反例說明了這種猜測是不正確的。

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