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狄利克雷L函數(shù)
狄利克雷L函數(shù)，又稱對應于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函數(shù)。
基本信息
| 中文名 | 狄利克雷L函數(shù) |
| 應用 | 數(shù)學 |
| 意義 | 狄利克雷級數(shù) |
| 性質 | 復變量函數(shù) |
狄利克雷L函數(shù)
正文
又稱對應于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函數(shù), 即函數(shù)，其中
,Ⅹ(n)是模q的一個特征，復變數(shù)
。它在
時就是黎曼ζ函數(shù)。這類函數(shù)最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術級數(shù)中的素數(shù)分布問題時引進的。它的性質和作用，都與黎曼ζ函數(shù)類似，在許多數(shù)論問題中有重要應用。它的主要性質有：
① 當
時，
，式中
表示對全體素數(shù)求積。因而
。
③ 當Ⅹ是模q的非主特征時，一定存在惟一的一個模q*，使當時，有
④ 當Ⅹ是模q的原特征時,
可解析開拓為整函數(shù)，且滿足函數(shù)方程
式中
τ(Ⅹ)為僅與Ⅹ有關的常數(shù)，且滿足
的共軛特征，即
⑤ 對任意的模q的特征Ⅹ，有
。
⑥設Ⅹ是模q的原特征，那么
是L(s,Ⅹ)的一級零點，稱為“無聊零點”；可能有的其他零點（稱為“非無聊零點”）一定都位于帶形區(qū)域
中;L(s,Ⅹ)確有無窮多個非無聊零點。
⑦ 設
，以
表在區(qū)域，
中的零點個數(shù)。因此，當Ⅹ 是模q的原特征和
時，有
⑧ 設,
，以
表 在區(qū)域
,中的零點個數(shù)。再設
，其中Σ表對模q的所有特征求和。因此，當時，有
。此結果已被改進和推廣，通常稱之為L函數(shù)的零點密度定理。
⑩ 存在絕對正常數(shù)X1，使得對任意固定的模q,在所有的函數(shù)
中，僅可能除去一個例外函數(shù)外，均在區(qū)域
內(nèi)無零點。如果這樣的例外函數(shù) 存在，那么塣一定是模q的實的非主特征，且 在上述區(qū)域內(nèi)只有一個一級實零點戓。這一性質是狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)的一個主要差別。研究對應于實特征的L函數(shù)的實零點，是L函數(shù)論的最重要問題之一。
A. 佩奇于1935年證明了：存在絕對正常數(shù)
，使得對任意的實原特征Ⅹ modq，
，必有
。由此可推出，存在絕對正常數(shù)
，使得對任意的實特征 Ⅹ modq，，當時
，
。
C.L.西格爾于1936年證明了：對任給的正數(shù)ε，存在正常數(shù)
，使得對任意的實原特征Ⅹmodq,，必有。由此推出，對任給正數(shù)ε，必有正常數(shù)
，使得對任意的實特征 Ⅹ modq，，當時
， 。
C. L. 西格爾的結果雖然優(yōu)于A. 佩奇的結果，但是常數(shù)
和
至今沒有辦法計算出來。
從性質⑩、?、?可推得有余項估計的算術級數(shù)中的素數(shù)定理（見素數(shù)分布）。類似于黎曼假設，有所謂廣義黎曼假設，即猜測所有的狄利克雷L函數(shù)的非無聊零點都位于直線
上，通常簡記作GRH。大量的數(shù)值計算以及理論上的探討都支持這一假設，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數(shù)論結果，雖然都是一些假設性的結果（其中有的已被無條件地證明了），但是卻指出了研究L函數(shù)零點的重要意義和方向。
參考書目
H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.
配圖
狄利克雷L函數(shù)
零點
若 χ 是原特征，χ( ? 1) = 1，則 L(s,χ) 在 Re(s)
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