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孿生素數(shù)猜想
1900年希爾伯特提出的數(shù)論
基本信息
| 中文名 | 孿生素數(shù)猜想 |
| 外文名 | Twin prime conjecture |
| 提出者 | 希爾伯特 |
| 提出時間 | 1900年 |
| 所屬領域 | 解析數(shù)論 |
| 學科 | 數(shù)學 |
收起
簡介
孿生素數(shù)猜想是數(shù)論中的著名未解決問題。這個猜想產(chǎn)生已久；在數(shù)學家希爾伯特在1900年國際數(shù)學家大會的著名報告中，它位列23個“希爾伯特問題”中的第8個問題，可以被描述為“存在無窮多個素數(shù)p，并且對每個p而言，有p+2這個數(shù)也是素數(shù)”。
孿生素數(shù)即相差2的一對素數(shù)。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孿生素數(shù)。
素數(shù)定理說明了素數(shù)在趨于無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生素數(shù)，與素數(shù)一樣，也有相同的趨勢，并且這種趨勢比素數(shù)更為明顯。
由于孿生素數(shù)猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯(lián)系，因此不斷有學術共同體外的數(shù)學愛好者試圖證明它。有些人聲稱已經(jīng)證明了孿生素數(shù)猜想。然而，尚未出現(xiàn)能夠通過專業(yè)數(shù)學工作者審視的證明。
1849年，波利尼亞克（AlphonsedePolignac）提出了更一般的猜想：對所有自然數(shù)k，存在無窮多個素數(shù)對
的情況就是孿生素數(shù)猜想。素數(shù)對
稱為孿生素數(shù)。數(shù)學家們相信這個猜想是成立的。
2013年5月，張益唐的論文《素數(shù)間的有界距離》在《數(shù)學年刊》上發(fā)表，破解了困擾數(shù)學界長達一個半世紀的難題，證明了孿生素猜想的弱化形勢，即發(fā)現(xiàn)存在無窮多差小于7000萬的素數(shù)對。這是第一次有人證明存在無窮多組間距小于定值的素數(shù)對。
無限多的證明
關鍵詞：完全不等數(shù),SN區(qū)間,LN區(qū)間.
大于3的素數(shù)只分布在
兩數(shù)列中。（n非0自然數(shù)，下同）
在6n-1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陰性素數(shù)了，所以就有陰性素數(shù)定理
在
數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陽性素數(shù)了，所以就有陽性素數(shù)定理
三、與孿生素數(shù)相對應的完全不等數(shù)
完全不等數(shù)(X),它既不等于陰性上下兩式；也不等于陽性上下兩式。
一個完全不等數(shù)所產(chǎn)生的陰性素數(shù)q和陽性素數(shù)P就是一對孿生素數(shù).
并且完全不等數(shù)與孿生素數(shù)是一一對應的.
為了搞清它們在自然數(shù)中分布情況，把四式中的N叫級別因子數(shù)，M叫無限因子數(shù)。
四種等數(shù)的每一個級別的最小等數(shù)都在
范圍。
每一級別的上等數(shù)相鄰兩等數(shù)距離是，在自然數(shù)列中比例是
，兩種上等數(shù)每個級別的比例合計是
，（但實際是略少于這個比例因每一級別的底部都沒有這個級別的上等數(shù)；下等數(shù)也一樣的情況。）
每一級別的下等數(shù)相鄰等數(shù)的距離是，在自然數(shù)列中的比例是，陰陽兩種下等數(shù)的每個級別的合計比例是。
每個級別的四種等數(shù)在自然數(shù)列中的比例是
.
五、四種等數(shù)大小數(shù)列的互相滲透
自然數(shù)列中有陰性上等數(shù)數(shù)列，陰性的下等數(shù)數(shù)列，陽性上等數(shù)數(shù)列和陽性下等數(shù)數(shù)列。它們的級別有無限多，每一個級別的數(shù)列的等數(shù)都是無限多的。同一種等數(shù)級別不同的數(shù)列都是互相滲透而產(chǎn)生重疊，并以兩級別的等數(shù)距離的乘積而嚴格地重疊的。在計算一種若干的級別的等數(shù)時用連乘式正好可以表示它的滲透重疊關系。四種等數(shù)數(shù)列之間都有互相滲透而重疊，只有同一級別陰陽上上數(shù)列。下下數(shù)列沒有滲透。四種數(shù)列之間的滲透重疊不用計算也足夠可以證明了。
六、與素數(shù)分布基本同步的SN區(qū)間
七、每個大于S8區(qū)間內(nèi)都有8個以上的完全不等數(shù)
在每一個SN區(qū)間只有存在1至N級別的四種數(shù)列等數(shù)，每一級別等數(shù)的比例是可以確定，由于上下級別的滲透。就可以拿以下式來計算S8區(qū)間的完全不等數(shù)的至少個數(shù)。
其他每一個SN區(qū)間可用這種方法計算.
隨著區(qū)間的增大完全不等數(shù)計算的數(shù)量也會越來越多。以后都會超過8個.
八、誤差分析
用最嚴格下取整的誤差分析方法，將SN區(qū)間捆綁成
的LN區(qū)間。在每一個大于S8的SN區(qū)間計算都大于8個完全不等數(shù)，在每一個LN區(qū)間都有
級別等數(shù)數(shù)列，每級級別有4種等數(shù)數(shù)列，每一級別一種等數(shù)篩一次誤差極限是1.每一個LN區(qū)間誤差極限是
.
最嚴格下取整后大于L4的區(qū)間仍然還有4個完全不等數(shù)。
九、總結
根據(jù)以上的論證，在大于S8區(qū)間每一個SN區(qū)間都有8個以上的完全不等數(shù).
嚴格的下取整后，大于L4的每一個LN區(qū)間都還有多于4個的完全不等數(shù)以上的量。
LN區(qū)間是無限多的，完全不等數(shù)與孿生素數(shù)對是一一對應的，所以孿生素數(shù)也是無限多的。
這個證明期待著權威的表態(tài)。[2]
素數(shù)——那些因數(shù)除了1就是他們本身的數(shù)們——就像代數(shù)的原子一樣。從歐幾里得——他在2000年前證明了素數(shù)有無窮多個——開始，它們就讓無數(shù)數(shù)學家們?yōu)橹畠A倒。
因為素數(shù)從根本上和乘法相關，理解他們和加法相關的性質(zhì)就變得很困難。一些數(shù)學上最古老的未解之謎就和素數(shù)和加法相關，其中之一就是孿生素數(shù)猜想——存在無限多組差為2的素數(shù)對。另一個則是哥德巴赫猜想，這個猜想提出所有的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和。
在自然數(shù)列的起始部分存在著大量的素數(shù)，但是隨著數(shù)字變大，他們變得越來越稀少。舉例來說，在前10個自然數(shù)里，40%都是素數(shù)——2，3，5和7——但是在所有的10位數(shù)里，僅有4%的數(shù)是素數(shù)。在過去的一個世紀里，數(shù)學家們掌握了素數(shù)減少的規(guī)律：在大數(shù)中，連個素數(shù)之間的間隔大約是位數(shù)的2.3倍。舉例說明，在100位的數(shù)中，兩個素數(shù)的平均間隔大約是230。
但是這只是平均而言。素數(shù)通常比平均預計得更加緊密地出現(xiàn)，或者相隔更遠。具體來說，“孿生”素數(shù)通常扎堆出現(xiàn)，比如3和5還有11和13，他們的差僅為2。而在大數(shù)中，孿生素數(shù)似乎從沒有完全消失（目前發(fā)現(xiàn)的最大的孿生素數(shù)是
和
）。
1849年，法國數(shù)學家阿爾方·波利尼亞克提出了“波利尼亞克猜想”：對所有自然數(shù)k，存在無窮多個素數(shù)對
。k等于1時就是孿生素數(shù)猜想，而k等于其他自然數(shù)時就稱為弱孿生素數(shù)猜想（即孿生素數(shù)猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亞克作為孿生素數(shù)猜想的提出者。
從那時開始，這些猜想的內(nèi)在吸引力冠予了它們數(shù)學的圣杯的稱號，雖然他們可能沒有實際的應用價值。雖然有很多數(shù)學家們致力于證明這一猜想，他們還是不能排除素數(shù)的間隔會一直增長最終超過一個特定上限的可能。
1921年，英國數(shù)學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德提出一個與波利尼亞克猜想類似的猜想，通常稱為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強孿生素數(shù)猜想”（即孿生素數(shù)猜想的強化版）。這一猜想不僅提出孿生素數(shù)有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。
2013年5月，張益唐在孿生素數(shù)研究方面所取得的突破性進展，他證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式。在最新研究中，張益唐在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，發(fā)現(xiàn)存在無窮多個之差小于7000萬的素數(shù)對，從而在孿生素數(shù)猜想這個重要問題的道路上前進了一大步。
張益唐的論文在5月14號在網(wǎng)絡上公開，5月21日正式發(fā)表。5月28號，這個常數(shù)下降到了6000萬。僅僅過了兩天的5月31號，下降到了4200萬。又過了三天的6月2號，則是1300萬。次日，500萬。6月5號，40萬。
在英國數(shù)學家TimGowers等人發(fā)起的“Polymath”計劃中，孿生素數(shù)問題成為了一個在全球數(shù)學工作者中利用網(wǎng)絡進行合作的一個典型。人們不斷地改進張益唐的證明，進一步拉近了與最終解決孿生素數(shù)猜想的距離。在2014年2月，張益唐的七千萬已經(jīng)被縮小到246。
研究內(nèi)容
非估算性
早在20世紀初，德國數(shù)學家蘭道就推測孿生素數(shù)有無窮多，許多跡象也越來越支持這個猜想。最先想到的方法是使用歐拉在證明素數(shù)有無窮多個所采取的方法。設所有的素數(shù)的倒數(shù)和為：
1920年代，通過使用著名的篩理論（Sievetheory，基于埃拉托斯特尼篩法的理論），挪威的維果·布朗（ViggoBrun）證明了2能表示成兩個最多有9個素數(shù)因子的數(shù)的差。這個結論已經(jīng)有些近似于孿生素數(shù)猜想了?？梢钥吹?，只要將這個證明中的“最多有9個素數(shù)因子的數(shù)”改進到“最多有1個素數(shù)因子的數(shù)”，就可以證明孿生素數(shù)猜想了。
1966年由已故的我國數(shù)學家陳景潤利用篩法（sievemethod）所取得的。陳景潤證明了：存在無窮多個素數(shù)p，使得p+2要么是素數(shù)，要么是兩個素數(shù)的乘積。這個結果與他關于Goldbach猜想的結果很類似。一般認為，由于篩法本身的局限性，這一結果在篩法范圍內(nèi)很難被超越。
估算性
證明孿生素數(shù)猜想的另一類結果則是估算性結果。這類結果估算的是相鄰素數(shù)之間的最小間隔Δ，更確切地說是：
翻譯成白話文，這個表達式所定義的是兩個相鄰素數(shù)之間的間隔，與其中較小的那個素數(shù)的對數(shù)值之比在整個素數(shù)集合中所取的最小值。很顯然，孿生素數(shù)猜想如果成立，那么Δ必須等于0。因為孿生素數(shù)猜想表明
對無窮多個n成立，而
，因此兩者之比的最小值對于孿生素數(shù)集合（從而對于整個素數(shù)集合也）趨于零。不過要注意，
只是孿生素數(shù)猜想成立的必要條件，而不是充分條件。換句話說，如果能證明
，則孿生素數(shù)猜想就不成立；但證明卻并不意味著孿生素數(shù)猜想就一定成立。
對Δ最簡單的估算來自于素數(shù)定理。按照素數(shù)定理，對于足夠大的x，在x附近素數(shù)出現(xiàn)的幾率為
，這表明素數(shù)之間的平均間隔為
（這也正是Δ的表達式中出現(xiàn)ln(pn)的原因），從而
給出的其實是相鄰素數(shù)之間的間隔與平均間隔的比值，其平均值顯然為1。平均值為1，最小值顯然是小于等于1，因此素數(shù)定理給出
。
對Δ的進一步估算始于Hardy和Littlewood。一九二六年，他們運用圓法（circlemethod）證明了假如廣義Riemann猜想成立，則
。這一結果后來被Rankin改進為
。但這兩個結果都有賴于本身尚未得到證明的廣義Riemann猜想，因此只能算是有條件的結果。一九四零年，Erd?s利用篩法首先給出了一個不帶條件的結果：
（即把素數(shù)定理給出的結果中的等號部分去掉了）。此后Ricci于一九五五年，Bombieri和Davenport于一九六六年，Huxley于一九七七年，分別把這一結果推進到
。Goldston和Yildirim之前最好的結果是Maier在一九八六年取得的
。
2003年，Goldston和Yildirim發(fā)表了一篇論文，聲稱證明了。但2003年4月23日，AndrewGranville（UniversitydeMontreal）和KannanSoundararajan（UniversityofMichigan）發(fā)現(xiàn)了Goldston和Yildirim證明中的一個錯誤。2005年，他們與JanosPintz合作完成了證明。此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孿生素數(shù)猜想的弱化版本——存在無窮多對相距16的素數(shù)——在時也會成立。
2013年5月14日，《自然》（Nature）雜志在線報道張益唐證明了“存在無窮多個之差小于7000萬的素數(shù)對”，這一研究隨即被認為在孿生素數(shù)猜想這一終極數(shù)論問題上取得了重大突破。
盡管從2到7000萬是一段很大的距離，《自然》的報道還是稱其為一個“重要的里程碑”。正如美國圣何塞州立大學數(shù)論教授DanGoldston所言，“從7000萬到2的距離（指猜想中尚未完成的工作）相比于從無窮到7000萬的距離（指張益唐的工作）來說是微不足道的?！?/span>
強化版猜想
1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了更一般的猜想：對所有自然數(shù)k，存在無窮多個素數(shù)對的情況就是孿生素數(shù)猜想。因此，波利尼亞克有時也被認為是孿生素數(shù)猜想的提出者。
其中的常數(shù)是所謂的孿生素數(shù)常數(shù)，其中的p表示素數(shù)。
哈代和李特爾伍德的猜測實際上是存在已久的孿生素數(shù)猜想的加強版。孿生素數(shù)猜想是指“孿生素數(shù)有無窮多個”。這個猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測并不是需要建立在孿生素數(shù)猜想成立的前提上。
這一猜想不僅提出孿生素數(shù)有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。中國數(shù)學家周海中指出：要證明強孿生素數(shù)猜想，人們?nèi)砸鎸υS多巨大的困難。
證明思路
一個由互不相同的非負整數(shù)構成的集合
，若對任意素數(shù)p，H中數(shù)除以p得到的余數(shù)類少于p個，則定義集合H為可接受的。如果證明了存在無窮多個n，使得
中至少有兩個素數(shù)，那么我們就可推出：存在無窮多對素數(shù)，每一對的兩素數(shù)的差小于
。特別地，
是可接受的，如果能對它證明結論，那么孿生素數(shù)猜想就迎刃而解了。
定義
，如果n為素數(shù)；定義
，如果n為合數(shù)。如果我們可以恰當選取函數(shù)lambda(n)，之后定義
然后證明
的話，我們就證完了。張益唐巧妙地選取了lambda函數(shù)，然后成功證明了對
，結論成立。然后他直接使用了前
個素數(shù)作為可接受的集合。
之后經(jīng)過數(shù)學家的辛勤工作，對
，結論仍然成立，對應的可接受數(shù)組為
。因此，對任意的x，在
之間存在差距小于246的素數(shù)對。
素數(shù)
質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，有無限個。一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能整除以其他自然數(shù)（質(zhì)數(shù)），換句話說就是該數(shù)除了1和它本身以外不再有其他的因數(shù)；否則稱為合數(shù)。根據(jù)算術基本定理，每一個比1大的整數(shù)，要么本身是一個質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的乘積；而且如果不考慮這些質(zhì)數(shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的。最小的質(zhì)數(shù)是2。
只有1和它本身兩個因數(shù)的自然數(shù)，叫質(zhì)數(shù)（或稱素數(shù)）。（如：由
，可知2的因數(shù)只有1和它本身2這兩個約數(shù)，所以2就是質(zhì)數(shù)。與之相對立的是合數(shù)：“除了1和它本身兩個因數(shù)外，還有其它因數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)?！比纾?/span>
，很顯然，4的因數(shù)除了1和它本身4這兩個因數(shù)以外，還有因數(shù)2，所以4是合數(shù)。）
100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100內(nèi)共有25個質(zhì)數(shù)。
質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質(zhì)數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為
，設
，那么，
是素數(shù)或者不是素數(shù)。
- 如果為素數(shù)，則要大于，所以它不在那些假設的素數(shù)集合中。
- 如果為合數(shù)，因為任何一個合數(shù)都可以分解為幾個素數(shù)的積；而的最大公約數(shù)是1，所以
不可能被整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設的素數(shù)集合中。
因此無論該數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)，都意味著在假設的有限個素數(shù)之外還存在著其他素數(shù)。所以原先的假設不成立。也就是說，素數(shù)有無窮多個。
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作者
