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純粹數(shù)學
專門研究數(shù)學本身規(guī)律的學科
純粹數(shù)學也叫基礎(chǔ)數(shù)學，是一門專門研究數(shù)學本身，不以實際應(yīng)用為目的的學問，研究從客觀世界中抽象出來的數(shù)學規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系，也可以說是研究數(shù)學本身的規(guī)律。相對于應(yīng)用數(shù)學而言，和其它一些不以應(yīng)用為目的的理論科學(例如理論物理、理論化學)有密切的關(guān)系。純粹數(shù)學以其嚴格、抽象和美麗著稱。自18世紀以來，純粹數(shù)學成為數(shù)學研究的一個特定種類，并隨著探險、天文學、物理學、工程學等的發(fā)展而發(fā)展。
分類
純粹數(shù)學研究從客觀世界中抽象出來的數(shù)學規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系，也可以說是研究數(shù)學本身的規(guī)律。它大體上分為三大類，即
研究空間形式的幾何類，研究離散系統(tǒng)的代數(shù)類，研究連續(xù)現(xiàn)象的分析類
研究離散系統(tǒng)的代數(shù)類
屬于第二類的如數(shù)論、近世代數(shù)。數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學科。按 研究方法的不同，大致可分為初等 數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、解析數(shù)論等。近世代數(shù)是把 代數(shù)學的對象由數(shù)擴大為 向量、矩陣等，它研究更為一般的 代數(shù)運算的規(guī)律和性質(zhì)，它討論群、環(huán)、向量空間等的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。近世代數(shù)有 群論、環(huán)論、伽羅華理論等分支。它在分析數(shù)學、幾何、物理學等學科中有廣泛的應(yīng)用。
研究連續(xù)現(xiàn)象的分析類
屬于第三類的如微分方程、函數(shù)論、泛函分析。微分方程是含有未知 函數(shù)的 導數(shù)或 偏導數(shù)的方程。如未知函數(shù)是 一元函數(shù)，則稱為常微分方程，如未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱為偏微分方程。函數(shù)論是實函數(shù)論（研究 實數(shù)范圍上的實值函數(shù)）和復變函數(shù)（研究在 復數(shù)平面上的 函數(shù)性質(zhì)）的總稱。泛函分析是綜合運用 函數(shù)論、幾何學、代數(shù)學的觀點來研究無限維向量空間（如 函數(shù)空間）上的函數(shù)、算子和 極限理論，它研究的不是單個函數(shù)，而是具有某種共同性質(zhì)的函數(shù)集合。它在數(shù)學和物理中有廣泛的應(yīng)用。
歷史
19世紀
“純粹數(shù)學”這個詞是從Sadleirian Chair（en:Sadleirian Chair）這個
19世紀中期建立的
教授職位的全名而來的?！凹兇狻睌?shù)學作為一門獨立的學科的想法可能就是從那個時候發(fā)展起來的。
高斯一代的數(shù)學家沒有徹底地區(qū)分過“純粹”和“應(yīng)用”。之后，專門化和專業(yè)化，特別是魏爾施特拉斯研究
數(shù)學分析的方法，使得兩者的區(qū)別越來越大。
20世紀
進入
20世紀，數(shù)學家們受到
希爾伯特的影響，開始使用
公理系統(tǒng)。
羅素建立了“純粹數(shù)學”的邏輯公式，以
量化的
命題為形式。隨著數(shù)學的公理化，這些公式變得越來越抽象了，“嚴格證明”成為的簡單的標準。實際上，“嚴格”在“證明”中沒有任何新意。以
布爾巴基小組的觀點，純粹數(shù)學就是被證明了的。
# 純粹數(shù)學基本理論的深刻變革
（作者：奇東，單位：齊東）
一、緒言（《
》書中的道白與評論）：
《
古今數(shù)學思想》書中 [第四冊324頁] 指出：“對于數(shù)學基礎(chǔ)的根本問題所提出的解答——經(jīng)典
集合論公理化、
邏輯主義，
形式主義，
直覺主義——都沒有達到目的，沒有對數(shù)學提供一個可以普遍接受的途徑。在哥德爾1931年的工作以后的發(fā)展，也沒有在實質(zhì)上改變這種狀況，…；該書中又指出：韋爾對數(shù)學的現(xiàn)狀作了恰當?shù)拿枋觯宏P(guān)于數(shù)學最終基礎(chǔ)和最終意義的問題還是沒有解決，我們不知道向哪里去找它的最后解答，…”,這就是純粹數(shù)學的基本現(xiàn)狀，…?！豆沤駭?shù)學思想》[第四冊313頁]書中還指出：“…，數(shù)學中最重要的進展都不是由于要把邏輯形式完美化而得到的，而是由于基本理論本身的變革，是邏輯依靠數(shù)學，而不是數(shù)學依靠邏輯?！笔聦嵣线壿嬇c數(shù)學相互依賴，數(shù)學基本理論自身變革怎樣變革、如何變革、從哪里作為起點開始變革至關(guān)重要，追根溯源，還是要上溯到2500多年前
畢達哥拉斯時期，從最簡單的算術(shù)談起，無容置疑，潛無限數(shù)學理論依然是純粹數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的根基，因為無理數(shù)都取近似值，堅決突破玄學數(shù)學自然觀的束縛、徹底打破純粹數(shù)學（
數(shù)學基礎(chǔ)）的“
數(shù)學家致以崇高敬意！…。
二、建立起數(shù)學數(shù)值
辯證邏輯
公理
系統(tǒng)
（的雛形）：
究竟是到數(shù)值邏輯系統(tǒng)外部探尋系統(tǒng)運算規(guī)律與深刻內(nèi)涵？還是在數(shù)值邏輯系統(tǒng)內(nèi)部探尋系統(tǒng)運算規(guī)律與深刻內(nèi)涵？很顯然，要在數(shù)值邏輯系統(tǒng)內(nèi)部探尋系統(tǒng)運算規(guī)律以及深刻內(nèi)涵、建立起數(shù)學辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)（的雛形），使數(shù)學理論形成完整的理性認識，事實證明，數(shù)理邏輯亦不是萬能邏輯，數(shù)理邏輯與實無限并未完全揭示出辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)運算規(guī)律與其深刻內(nèi)涵，初等數(shù)學與純粹數(shù)學的基本理論尚有諸多不足之處，這就是數(shù)學實無限理論和數(shù)理邏輯無法解決的數(shù)學矛盾與問題，關(guān)于數(shù)學的無限矛盾，實無限、數(shù)理邏輯不能解決的數(shù)學矛盾與問題，運用潛無限數(shù)學理論與潛無限的科學方法深化提升對有理數(shù)系統(tǒng)的認識，未嘗不可，…，用那10個
阿拉伯數(shù)字演繹數(shù)學真諦，1生2、2生3、“10”個阿拉伯數(shù)字派生無限，確切地說正整數(shù)數(shù)列： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……如果從數(shù)學的
數(shù)論、
集合論、
算術(shù)與
哲學角度出發(fā)，運用算術(shù)的方法分別選取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分別地建立起最基本最原始的幼稚可笑的有理數(shù)
數(shù)列群與
子集合（為了節(jié)省版面本文分數(shù)線用斜線表示，敬請諒解）：
第1子系列：
第2子系列：
第3子系列：
第4子系列：
第5子系列：
第6子系列：
第7子系列：
第8子系列：
第9子系列：
第10子系列：
……，……
如果再去分別探索在何范疇內(nèi)系統(tǒng)的各個子系列各基數(shù)間存在著運算規(guī)律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的（公理）倍數(shù)關(guān)系時、即分別探索在何范疇內(nèi)各基數(shù)間存在著2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的算術(shù)（數(shù)學）公理——辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)運算規(guī)律：
第1子系列：
第2子系列、第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
第3子系列、第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
第4子系列、第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
第5子系列、第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4 環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
第6子系列、第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
第7子系列、第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
（一）、數(shù)學數(shù)值
辯證邏輯
公理
系統(tǒng)
（以下簡稱為數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)或
系統(tǒng)
）：
關(guān)于上述初等數(shù)學與純粹數(shù)學的起點，即最簡單、最原始幼稚可笑的未被引起人們足夠重視的數(shù)值運算我們無法將其一一列出，上述運算是否蘊涵著數(shù)學數(shù)值邏輯系統(tǒng)運算
規(guī)律和深刻的內(nèi)涵？單憑直覺無法正確回答，…，目前，只能實事求是，實話實說，常言道，最簡單的、最質(zhì)樸的恰恰是最深奧的、最難以理解接受的，數(shù)學是被應(yīng)驗了，我們將上述運用
亞里士多德潛無限數(shù)學理性認識和在自然辯證法（哲學）指導下、在
數(shù)論、
集合論內(nèi)涵條件下形成的特殊運算規(guī)律與普遍運算規(guī)律以及深刻內(nèi)涵辯證地概括地歸納為：總之，數(shù)學辯證數(shù)值邏輯系統(tǒng)的各個子系列除了第1系列
例外，上述辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)運算
規(guī)律，系統(tǒng)的各個子系列無論是在奇數(shù)子系列、還是在偶數(shù)子系列范疇內(nèi)均派生
子集合，派生子集合是指（既約分數(shù)）
從系統(tǒng)發(fā)展變化的過程中產(chǎn)生分化出來占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其半整性質(zhì)，因為
是最大的分數(shù)單位，所以分數(shù)擁有半整性質(zhì)；換言之，小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…在系統(tǒng)在各個子系列發(fā)展變化的過程中紛紛產(chǎn)生分化出來、均占據(jù)整數(shù)的位置，揭示著它們的絕對值比其他小數(shù)的絕對值相對整裝，小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…充分地十足地體現(xiàn)其半整性質(zhì)，蘊涵著完整的算術(shù)（數(shù)學）
公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數(shù)關(guān)系，2是數(shù)學（算術(shù)）的首要
公理，
當系統(tǒng)子系列在
10
，
100
，
1000
，
10000
，
…
的范疇內(nèi)：
均派生子集合，不僅揭示著小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…擁有半整性質(zhì)，而且在向縱深發(fā)展地潛無限的過程中有太多太多的基數(shù)是超越數(shù)數(shù)值的有限形式、甚至與其相吻合，形成有限不循環(huán)小數(shù)或潛無限不循環(huán)小數(shù)（例如
等等），
是超
超越數(shù)的有限形式，是十進制小數(shù)的典型代表，在此基礎(chǔ)上引進有限·不循環(huán)小數(shù)（潛無限·不循環(huán)小數(shù)）的概念與定義，有限·不循環(huán)小數(shù)（潛無限·不循環(huán)小數(shù)）是數(shù)學真理最新發(fā)現(xiàn)之一，譬如：
圓周率π=3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，…等等就是有限·不循環(huán)小數(shù)（潛無限·不循環(huán)小數(shù)），具有替代無理數(shù)數(shù)值的數(shù)學實際意義與應(yīng)用價值（無理數(shù)的近似值），…；現(xiàn)將數(shù)學數(shù)值
辯證邏輯公理系統(tǒng)各個子系列籠統(tǒng)的、通項的表達為（僅以正的為代表，符號↓：意指系統(tǒng)的各個子系列均相互派生子集合）：
或者表達為：
或者表達為：
第1環(huán)節(jié)：
，第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
，第6環(huán)節(jié)：
第7環(huán)節(jié)：
第8環(huán)節(jié)：
第9環(huán)節(jié)：
第10環(huán)節(jié)：
……，…；或者表達為：系統(tǒng)中的
意指系統(tǒng)各個子系列1，3，5，7，9，11，13，…奇數(shù)環(huán)節(jié)上的基數(shù)的和，
意指系統(tǒng)各個子系列2，4，6，8，10，12，…偶數(shù)環(huán)節(jié)上的基數(shù)之和，
亦是系統(tǒng)的子集合，
它們是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數(shù)組，其他依次類推，很顯然，假如說
的基數(shù)是實無限，那么它的基數(shù)有理數(shù)與無理數(shù)一下子就會全部冒出來，究竟具體有多少、是多少？實無限無人無法具體知曉、如果采納實無限手段依然會遇到我們的前人所遭遇的結(jié)果，因此務(wù)必突破傳統(tǒng)數(shù)學思維觀念實無限與傳統(tǒng)經(jīng)典
數(shù)論、
集合論的束縛，本文并不否定實無限的科學性、亦不否定無理數(shù)的客觀存在，亦不否認數(shù)理邏輯比數(shù)值邏輯的無比優(yōu)越性，只是希望承認接受實無限的人們與專家，千萬莫否定、排斥掉了潛無限數(shù)學理論，
均為有科學秩序的有理數(shù)，并非一堆毫無秩序的有理數(shù)，式中的
因此務(wù)必運用科學的潛無限數(shù)學理論來認識、解決數(shù)學矛盾與問題，再次強調(diào)說明，符號↓意指（相互）派生子集合，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)各個子系列從第2系列起各個子系列均（相互）派生子集合，具有普遍意義，（相互）派生子集合是指在數(shù)學辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)運算過程中，分數(shù)（半整數(shù)）
從系統(tǒng)發(fā)展變化的過程中產(chǎn)生分化出來占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其半整性質(zhì)，因為是最大的分數(shù)單位，所以擁有半整性質(zhì)（實際上無論是在奇數(shù)系列還是在偶數(shù)系列范疇內(nèi)系統(tǒng)均派生分數(shù)形式的子集合，為了節(jié)省版面本文沒有反復提出，敬請諒解），換言之，小數(shù)
從系統(tǒng)發(fā)展變化過程中產(chǎn)生分化出來，占據(jù)整數(shù)位置，充分地十足地體現(xiàn)其小數(shù)的半整性質(zhì)，為奇數(shù)
能被2半整除提供科學的理論依據(jù)，系統(tǒng)相互派生子集合，也包涵著整數(shù)
由系統(tǒng)發(fā)展變化的過程中從系統(tǒng)的有理數(shù)中分化出來占據(jù)整數(shù)位置體現(xiàn)整數(shù)性質(zhì)，為偶數(shù)
能被2整除提供科學依據(jù)，因此說在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中相互派生子集合，公理系統(tǒng)蘊涵著完整的辯證數(shù)值邏輯運算規(guī)律、系統(tǒng)蘊涵著完整的數(shù)學（
算術(shù)）公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數(shù)關(guān)系、或者說2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…均是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)的
算術(shù)（數(shù)學）
公理，2是數(shù)學公理系統(tǒng)的首要公理，系統(tǒng)具有無窮個子系列、用符號n表示，
采納潛無限的方法去把握，系統(tǒng)的各個子系列具有無窮個自然連鎖環(huán)節(jié)、用符號a表示，
采納潛無限的方法去把握，構(gòu)成永不枯竭的無限的連鎖群體和統(tǒng)一體，是數(shù)值邏輯對立統(tǒng)一規(guī)律的真實體現(xiàn)，是我們?nèi)祟悘臄?shù)學的必然王國邁向自由王國的有效途徑，是我們?nèi)祟惣w智慧的一大體現(xiàn)與結(jié)晶，數(shù)學數(shù)值辯證邏輯公理系統(tǒng)是無限開放著的公理體系，縱、橫向上只有起點而無終點！它永遠傾聽人類實踐的呼聲、滿足人類實踐的需求，我們?nèi)祟悓嵺`永遠不可能達到實無限的程度；很顯然，在數(shù)學辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中的各個子系列無論是在偶數(shù)還是在奇數(shù)環(huán)節(jié)上均相互派生子集合，尤其分數(shù)形式的半整數(shù)
或者說小數(shù)形式的半整數(shù)自告奮勇勢不可擋、在發(fā)展變化的過程中紛紛產(chǎn)生分化出來擔負起半整性質(zhì)的重任，盡管這樣的分數(shù)與其對應(yīng)著的小數(shù)極其簡單、分數(shù)形式的半整數(shù)（小數(shù)形式的半整數(shù)）然而其基本原理與哲理卻深刻、深奧的難以理解與接受、甚至不可理喻，只有運用辯證邏輯進行辯證認識、辯證分析、辯證推理，才能夠判斷推理出半整數(shù)的半整性質(zhì)，…；概括而言，偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除、奇數(shù)（包括素數(shù)）卻能被2半整除，奇數(shù)與偶數(shù)（整數(shù)與半整數(shù)）相反相成對立統(tǒng)一，蘊涵著哲學的對立統(tǒng)一規(guī)律，數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)為其提供完整地科學依據(jù)，這是數(shù)學自然觀、科學觀的重大發(fā)現(xiàn)與認識問題，要做出正確選擇，要突破傳統(tǒng)數(shù)學實無限、傳統(tǒng)經(jīng)典數(shù)論與集合論的束縛，顯然，
廣義內(nèi)涵的
數(shù)論、
廣義內(nèi)涵的
集合論、廣義內(nèi)涵的
算術(shù)、
哲學（自然
辯證法）四位一體、辯證統(tǒng)一，自然辯證法（現(xiàn)代哲學）以對立統(tǒng)一規(guī)律為切入點注入初等數(shù)學、純粹數(shù)學，為數(shù)學真理指明了正確的前進方向，至此，數(shù)學（算術(shù)）已有科學根據(jù)，需要引入數(shù)學新概念與定義：譬如分數(shù)的半整性質(zhì)、小數(shù)的半整性質(zhì)、單位小數(shù)（小數(shù)單位）、最大的單位小數(shù)是0.5等等諸多數(shù)學概念與定義，有理數(shù)屬于離散量的范疇，盡管如此，在數(shù)軸上、坐標系、在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中得以體現(xiàn)，廣義內(nèi)涵的整數(shù)與無理數(shù)一樣均客觀存在、擁有客觀存在性，問題的關(guān)鍵所在就是如果理解接受了派生子集合、特殊分數(shù)與特殊小數(shù)的半整性質(zhì)，其他數(shù)學矛盾與問題便會迎刃而解，或者說難度會大大縮減，…；集合
，
其他依次類推 ,公理系統(tǒng)蘊涵著算術(shù)的基本法則，關(guān)于無理數(shù)需要具體問題具體分析、具體對待、具體構(gòu)造無理數(shù)數(shù)值，引進實數(shù)、實數(shù)系千萬莫排斥掉了潛無限數(shù)學理論，…。
（二）、數(shù)學數(shù)值辯證邏輯公理系統(tǒng)（以下簡稱為數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)或系統(tǒng)）揭示出豐富深刻內(nèi)涵、數(shù)學概念與問題：
1
、傳統(tǒng)經(jīng)典的數(shù)論與集合論的公理系統(tǒng)凸顯巨大的局限性：
很顯然，依照傳統(tǒng)經(jīng)典的數(shù)論與集合論的理性意識，系統(tǒng)的各個子系列運算規(guī)律只有
即只有奇數(shù)3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，…是
算術(shù)（
數(shù)學）
公理，沒有偶數(shù)倍數(shù)的統(tǒng)一體，經(jīng)典的數(shù)論與集合論無法回答偶數(shù)2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，…是否也是系統(tǒng)的
算術(shù)（數(shù)學）
公理，傳統(tǒng)經(jīng)典的數(shù)論與集論公理的公理系統(tǒng)凸顯巨大的局限性，即系統(tǒng)沒有偶數(shù)倍數(shù)的
算術(shù)（
數(shù)學）
公理，
皮亞諾公理并非算術(shù)的全部，如何探索尋求數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)成為算術(shù)（數(shù)學）的首要問題，提升到哲學與數(shù)學的高度，它涉及到人們數(shù)學觀的認識問題，需要艱難地突破傳統(tǒng)經(jīng)典的數(shù)論與集合論的重大束縛，
認識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理是艱難曲折的，承認接受數(shù)學真理更加艱難曲折，因為
認識接受真理不僅存在著難度，而且還存在著數(shù)學的
辯證
自然觀與樸素的數(shù)學自然觀的思想矛盾與相互排斥及摩擦，…；
2
、雙
素數(shù)
：
除了能被1和自身整除外，還僅能被2和一個素數(shù)互為整除的（僅以正的為代表）偶數(shù)，把具有這樣性質(zhì)的
偶數(shù)稱之為雙素數(shù)，雙
素數(shù)無窮無盡，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值的素數(shù)之和，即
雙素數(shù)星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，雙素數(shù)與素數(shù)相互對應(yīng)：
6，10，14，22，26，34，38，46，58，……
3， 5， 7，11，13，17，19，23，29，……（上下相互對應(yīng)）
3
、偶數(shù)意義的
素數(shù)
與素數(shù)：
2既是一個素數(shù)又是一個偶數(shù)，將2稱之為偶數(shù)意義的素數(shù)，偶數(shù)意義的素數(shù)2具有唯一性，那么就可以將奇素數(shù)3，5，7，11，13，17，19，...簡稱為素數(shù)，簡化奇素數(shù)的名稱。
4
、關(guān)于
哥德巴赫猜想
理論上如何認識？在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中也是不可能回避的數(shù)學矛盾與問題：
或者表達為：
第1環(huán)節(jié)：
第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：第4環(huán)節(jié):
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
第7環(huán)節(jié)：第8環(huán)節(jié)：
第9環(huán)節(jié)：第10環(huán)節(jié)：
，
……，…；
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……均為
數(shù)學（
算術(shù)）
公理，2是公理系統(tǒng)首要公理，…，如果將它們展開為數(shù)值邏輯公理的另一種表達形式：
第2環(huán)節(jié)：
第3環(huán)節(jié)：
第4環(huán)節(jié)：
第5環(huán)節(jié)：
第6環(huán)節(jié)：
第7環(huán)節(jié)：
第8環(huán)節(jié)：
第9環(huán)節(jié)：
第10環(huán)節(jié)：
第11環(huán)節(jié)：
第12環(huán)節(jié)：
第13環(huán)節(jié)：
第14環(huán)節(jié)：
第15環(huán)節(jié)：
…，…在
向
的轉(zhuǎn)換過程中總是蘊涵著
哥德巴赫猜想，運算規(guī)律不僅具有算術(shù)公理
的數(shù)學意義，也蘊涵著經(jīng)典數(shù)論“
”的重大意義，我們無法否定它的客觀存在性，算術(shù)公理與數(shù)論的“”二者相輔相成，一脈相承，數(shù)論的“”其實它就是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中各個子系列偶環(huán)節(jié)上的特殊算術(shù)公理，數(shù)論的“”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中各個子系列偶數(shù)環(huán)節(jié)上的運算規(guī)律，一定要在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中辯證地認識、正確地看待它，數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)不可能回避如此重大數(shù)學矛盾——
哥德巴赫猜想：
（
1
）、
哥德巴赫
偶數(shù)猜想：大于等于
6
的偶數(shù)
=
（一個
素數(shù)
+
另一個
素數(shù)
）
數(shù)論的“”與算術(shù)的在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中一脈相承，在算術(shù)公理1+1=2的數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中蘊涵著數(shù)論的“”，數(shù)論的“”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)各個子系列偶數(shù)環(huán)節(jié)上的算術(shù)
公理、是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中偶數(shù)環(huán)節(jié)上的運算規(guī)律：譬如：
無窮無盡，擁有客觀存在性（當然是辯證推理），既不肯定也不否定其真實性、模棱兩可、不置可否，這背離了數(shù)學（邏輯）
排中律，很顯然，傳統(tǒng)經(jīng)典的數(shù)論要證明的“”亦是算術(shù)公理，依然屬于算術(shù)的范疇與算術(shù)問題，經(jīng)典的數(shù)論要證明的“”是完美地，…，弄一個足夠多的素數(shù)表意義非凡、其意義不亞于證明了“”真實性；
（
2
）、
哥德巴赫
奇數(shù)猜想：大于等于
9
的奇數(shù)
=
（一個
素數(shù)
+
一個雙
素數(shù)
）
=3
個
素數(shù)
之和：
譬如：
很顯然，哥德巴赫奇數(shù)猜想亦是辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中奇數(shù)環(huán)節(jié)上的算術(shù)公理，是系統(tǒng)奇數(shù)環(huán)節(jié)上的運算規(guī)律但屬于特殊運算規(guī)律，擁有客觀存在性，這當然是運用邏輯辯證推理；
哥德巴赫猜想——數(shù)論的“”所證明的真實性、以及邏輯上所要摘取的是十分完美地！…。
5
、
分數(shù)
單位：
簡言之，分子是1、分母是等于、大于2的正整數(shù)的分數(shù)就是分數(shù)單位，譬如
就是分數(shù)單位，最大的分數(shù)單位是，在
數(shù)軸上、
坐標系、數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中得以體現(xiàn)，分數(shù)單位、最大的分數(shù)單位是一個基本單位與相對整體；
6
、單位
小數(shù)（小數(shù)單位）
：
什么是單位小數(shù)目前尚未形成統(tǒng)一
認識，如果將分數(shù)單位
對應(yīng)下的小數(shù)0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…界定為單位小數(shù)（小數(shù)單位），那么就可以將小數(shù)0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…統(tǒng)稱為單位小數(shù)（小數(shù)單位）·，單位小數(shù)涵蓋著小數(shù)計數(shù)單位，單位小數(shù)的意義比小數(shù)計數(shù)單位的意義更廣泛，很顯然，最大的單位小數(shù)是0.5，單位小數(shù)與最大的單位小數(shù)是0.5是數(shù)學真理最新發(fā)現(xiàn)之一；單位小數(shù)、最大的單位小數(shù)0.5的數(shù)學與哲學意義，就是最大的單位小數(shù)0.5為小數(shù)形式的半整數(shù)擁有半整性質(zhì)提供科學理論根據(jù)與支持，小數(shù)形式的半整數(shù)擁有半整性質(zhì)又為奇數(shù)（含素數(shù)）能被2半整除提供科學理論根據(jù)與支持，這就是單位小數(shù)、最大的單位小數(shù)0.5的數(shù)學與哲學意義！因此，引進單位小數(shù)、最大的單位小數(shù)0.5是正確的、科學的、切合實際的、是非常必要的！單位小數(shù)、最大的單位小數(shù)是0.5擁有客觀存在性，在數(shù)軸上、坐標系中、數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中得以體現(xiàn)，是不可分割的相對整體。
7
、
小數(shù)
計數(shù)單位：
小數(shù)計數(shù)單位是指小數(shù)計數(shù)方法中，小數(shù)點右邊十分位、百分位、千分位、…上的最具代表性的小數(shù)單位，分別為：
因為最大的小數(shù)計數(shù)單位0.1小于最大的單位小數(shù)0.5與最大的分數(shù)單位，所以不能夠揭示出小數(shù)的半整性質(zhì)，導致數(shù)學真理復雜化與更加抽象化，這就是小數(shù)計數(shù)單位的局限性，因此務(wù)必引入單位小數(shù)、最大的單位小數(shù)0.5，小數(shù)計數(shù)單位屬于單位小數(shù)的范疇，很顯然，單位小數(shù)涵蓋著小數(shù)計數(shù)單位，單位小數(shù)的意義比小數(shù)計數(shù)單位的含義更廣泛.
8
、
分數(shù)
的
內(nèi)涵
：
所謂分數(shù)的內(nèi)涵地地道道、千真萬確包括著分數(shù)的絕對值（數(shù)值）、分數(shù)單位、分數(shù)單位的個數(shù)（份數(shù)）、最大的分數(shù)單位是、半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）等等概念，因此分數(shù)的絕對值（數(shù)值）僅僅是分數(shù)內(nèi)涵的一部分，分數(shù)的絕對值包含著分數(shù)單位與分數(shù)單位的個數(shù)、這是至關(guān)重要的，要充分運用好分數(shù)單位、最大的分數(shù)單位、分數(shù)單位的個數(shù)（份數(shù)）等等概念進行辯證認識、辯證分析分數(shù)的深刻內(nèi)涵，深化提升對有理數(shù)的理性認識，有必要剖析分數(shù)的內(nèi)涵，…。
9
、
分數(shù)的半
整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）：
其他分數(shù)的絕對值對比分數(shù)
的
絕對值更零散，換言之，分數(shù)對比其他分數(shù)的
絕對值而言相對整裝，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，把這一相比較而得到的相對整性質(zhì)統(tǒng)稱為分數(shù)的半整性質(zhì)，簡稱為半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)），為什么會擁有分數(shù)的半整性質(zhì)、因為分數(shù)
]的
絕對值的分數(shù)單位均是最大的分數(shù)單位，最大的分數(shù)單位決定著它們的絕對值擁有分數(shù)的半整性質(zhì)，可以一次全部確定下來，因為這是規(guī)律，無需逐一驗證，其他分數(shù)不具備半整性質(zhì)——因為其他分數(shù)的分數(shù)單位
均小于最大的分數(shù)單位，所以其他分數(shù)的絕對值更零散，因此可以一次徹底排除，無需逐一驗證，這也是規(guī)律，千萬莫產(chǎn)生誤解，并非所有的分數(shù)都具有半整性質(zhì)、更不是分數(shù)的絕對值越大才越具有半整性質(zhì)，只有分數(shù)形式的半整數(shù)
的絕對值擁有半整性質(zhì)，這是由最大的分數(shù)單位決定著分數(shù)
的絕對值擁有半整性質(zhì)，分數(shù)的半整性質(zhì)是數(shù)學真理最新發(fā)現(xiàn)之一，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其分數(shù)的半整性質(zhì)，
分數(shù)的半整
性質(zhì)的
內(nèi)涵
與
外延
僅僅適用于
分數(shù)的范疇，不能超越了此范疇，否則就是對分數(shù)的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）的誤讀、誤解，…；分數(shù)的半整性質(zhì)是一部分分數(shù)的特殊性質(zhì)、特殊規(guī)律，是最抽象、最深奧、最為“彎彎繞”的算術(shù)（數(shù)學）真理；務(wù)必需要說明，分數(shù)的半整性質(zhì)與整數(shù)（分數(shù)形式的整數(shù)）的性質(zhì)是具有差異性、它們是異中之同、差異中的共性與同一性，并非等同的共性，因此既要認識到分數(shù)的半整性質(zhì)與整數(shù)性質(zhì)的差異性、又要認識到分數(shù)的半整性質(zhì)與整數(shù)性質(zhì)的差異中的共性與同一性，分數(shù)的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）是數(shù)學真理最新發(fā)現(xiàn)之一；…。
10
、
分數(shù)形式的
半整數(shù)
（半整性質(zhì)的分數(shù)）：
將分數(shù)以及其絕對值所擁有的半整·性質(zhì)統(tǒng)稱為
分數(shù)形式的半整數(shù)（半整性質(zhì)的分數(shù)），也就是把正分數(shù)形式的半整與負分數(shù)形式的半整統(tǒng)稱為分數(shù)形式的半整數(shù)（半整性質(zhì)的分數(shù)），分數(shù)形式的半整數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是分數(shù)性質(zhì)，其二是半整性質(zhì)，…。
11
、
小數(shù)
的
內(nèi)涵
：
所謂小數(shù)的內(nèi)涵地地道道、千真萬確包涵著小數(shù)的
絕對值、單位小數(shù)、單位小數(shù)的個數(shù)、最大的單位小數(shù)是0.5、半整性質(zhì)、小數(shù)計數(shù)單位、小數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)、最大的小數(shù)計數(shù)單位是0.1等等概念，因此小數(shù)的絕對值（數(shù)值）僅僅是小數(shù)內(nèi)涵的一部分，需要了解理解消化單位小數(shù)、單位小數(shù)的個數(shù)、最大的單位小數(shù)是0.5等等概念與含義，小數(shù)的絕對值不僅包含著小數(shù)計數(shù)單位與小數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)，最大的小數(shù)計數(shù)單位是0.1，而且小數(shù)的絕對值還包含著單位小數(shù)與單位小數(shù)的個數(shù)、最大的單位小數(shù)是0.5，這是至關(guān)重要的，要充分運用好單位小數(shù)、單位小數(shù)的個數(shù)、最大的單位小數(shù)0.5等等概念辯證認識、辯證分析小數(shù)的深刻內(nèi)涵，深化提升對有理數(shù)的理性認識，有必要深度剖析小數(shù)的深刻內(nèi)涵，…。
12
、
小數(shù)形式的半整
性質(zhì)：
先舉例說明，例如（以
十進制小數(shù)為例）：為了便于理解接受在舉例之前先以小數(shù)計數(shù)單位為例：譬如小數(shù)0.9、0.87、0.988、0.7778888、…,小數(shù)
，即小數(shù)0.9包含9個0.1，小數(shù)
即0.87包含87個0.01，小數(shù)
即0.988包含988個0.001，小數(shù)
即0.7778888包括7778888個0.0000001，…這些小數(shù)的小數(shù)計數(shù)單位分別是0.1、0.01、0.001、0.0000001、…,最大的小數(shù)計數(shù)單位是0.1；以分數(shù)單位與單位小數(shù)舉例說明（與小數(shù)計數(shù)單位以及小數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)相類似）即：
…很顯然，單位小數(shù)0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，……均小于最大的單位小數(shù)0.5，所以小數(shù)0.6…，0.75，0.6，0.8333…，0.428571…，0.625，0.7…,0.9，…的絕對值均比的
絕對值更零散，換言之，小數(shù)的絕對值均比其他小數(shù)的絕對值相對整裝，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中將這一相比較而言得到的相對整性質(zhì)統(tǒng)稱為小數(shù)的絕對值的半整性質(zhì)，為什么它們會擁有半整性質(zhì)，因為小數(shù)的
絕對值的單位小數(shù)均是最大的單位小數(shù)0.5，最大的單位小數(shù)0.5決定著小數(shù)的絕對值擁有半整性質(zhì)，半整性質(zhì)的小數(shù)可以一次全部確定下來，無需逐一驗證，這是
規(guī)律，其他小數(shù)不具備半整性質(zhì)、因為其他小數(shù)的單位小數(shù)0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…均小于最大的單位小數(shù)0.5，可以一次徹底排除，無需逐一驗證，這也是
規(guī)律，本文為了便于人們理解，在前面才如此舉例如此說明的，因此，小數(shù)的內(nèi)涵不僅包括小數(shù)的絕對值還包含著單位小數(shù)、單位小數(shù)的個數(shù)、最大的單位小數(shù)是0.5，而且單位小數(shù)與分數(shù)單位相互對應(yīng)、最大的單位小數(shù)0.5與最大的分數(shù)單位互相對應(yīng)（因為
所以最大的單位小數(shù)0.5并非憑空而來的，需要形成理性認識）、單位小數(shù)的個數(shù)與分數(shù)單位個數(shù)（份數(shù)）相互對應(yīng)，最大的單位小數(shù)0.5以及公理系統(tǒng)為小數(shù)的絕對值擁有半整性質(zhì)提供理論依據(jù)與支持，因為0.5是最大的單位小數(shù)無與倫比，小數(shù)
絕對值的半整性質(zhì)又為奇數(shù)
能被2半整除提供理論依據(jù)與支持，再次說明，并非所有的小數(shù)也不是小數(shù)的絕對值越大越體現(xiàn)小數(shù)的半整性質(zhì)，
小數(shù)的半整性質(zhì)的
內(nèi)涵與
外延僅僅適用于
小數(shù)的范疇，否則就是對
小數(shù)的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）的誤讀、誤解，…。
13
、
小數(shù)形式的
半整數(shù)
（半整性質(zhì)的小數(shù)）：
將小數(shù)
以及其
絕對值所擁有的半整性質(zhì)統(tǒng)稱為
小數(shù)形式的半整數(shù)（半整性質(zhì)的小數(shù)），也就是將正小數(shù)形式的半整與負小數(shù)形式的半整數(shù)統(tǒng)稱為小數(shù)形式的半整數(shù)（半整性質(zhì)的小數(shù)），
小數(shù)形式的半整數(shù)其絕對值具有相互矛盾的雙重性質(zhì)，一是半整性質(zhì)，二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
14
、
廣義
整數(shù)：
將整數(shù)與分數(shù)形式的半整數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)，即本文將
統(tǒng)稱為·廣義整數(shù)；亦可以將整數(shù)和小數(shù)形式的半整數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)，換言之，即本文將
統(tǒng)稱為廣義整數(shù)；廣義整數(shù)蘊涵著整數(shù)與正、負分數(shù)形式的半整數(shù)，正、負小數(shù)形式的半整數(shù)的意義；廣義整數(shù)、廣義數(shù)學真理為
量子力學奠定堅實基礎(chǔ)、揭示著大宇宙中
微觀世界的
原子、
中子、
質(zhì)子、核外
電子，
費米子、
玻色子等等粒子的某些運動（
自旋）規(guī)律，...；在
量子力學中將分數(shù)或者說小數(shù)
統(tǒng)稱為
半整數(shù)或者叫作
量子數(shù)，實際上它們就是離散量的有理數(shù)，因此說：半整數(shù)與分數(shù)形式的相對整數(shù)或小數(shù)形式的相對整數(shù)
內(nèi)涵
與
外延是完全
等價的，沒有什么差異，就如同質(zhì)數(shù)就是素數(shù)、素數(shù)就是質(zhì)數(shù)其內(nèi)涵完全等價相類同，因此半整數(shù)就是分數(shù)形式的半整數(shù)或小數(shù)形式的半整數(shù)，分數(shù)形式的半整數(shù)或小數(shù)形式的半整數(shù)就是量子力學中的半整數(shù)，…，
費米子
的
自旋
規(guī)律分別遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
規(guī)律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此
量子力學證明
將
統(tǒng)稱為廣義整數(shù)是切合實際的、是完全正確的。
15
、
1+1=2
所蘊含著的基本原理與對立統(tǒng)一規(guī)律：
偶數(shù)能被2在抽象意義下自然整除，
奇數(shù)不能被2在抽象意義下自然整除、
奇數(shù)（包括素數(shù)）卻能被2在抽象意義下半整除，因為小數(shù)形式的半整數(shù)（半整數(shù)）擁有半整性質(zhì)，為
奇數(shù)（包括素數(shù)）能被2半整除提供科學的理論依據(jù)，或者說2是數(shù)學首要公理，哥德巴赫猜想——數(shù)論的“”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中偶環(huán)節(jié)上的算術(shù)公理擁有客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可，不置可否，這不符合排中律；其
哲學意義（哲理）：偶數(shù)能被2在抽象意義下自然整除，奇數(shù)不能被2在抽象意義下自然整除、奇數(shù)（含素數(shù)）卻著實能被2在抽象意義下半整除，傳統(tǒng)意義的偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除是指奇數(shù)與偶數(shù)二者的排斥性、對立性、差異性，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除、
奇數(shù)卻能被2在抽象意義下半整除是指
奇數(shù)和
偶數(shù)的異中之同、差異中的共性與同一性，恰好與哲學的對立統(tǒng)一規(guī)律相吻合，因此說，奇數(shù)與偶數(shù)（整數(shù)與分數(shù)形式的半整數(shù)或整數(shù)與小數(shù)形式的半整數(shù)、整數(shù)與半整數(shù)）相反相成
對立統(tǒng)一， 蘊涵著極其深刻的數(shù)值邏輯對立統(tǒng)一規(guī)律，換言之奇數(shù)與偶數(shù)（整數(shù)與半整數(shù)）蘊涵著哲學的
對立統(tǒng)一規(guī)律，以上所談就是算術(shù)公理蘊涵著的基本原理與哲理，
哲學（自然
辯證法）以對立統(tǒng)一規(guī)律為切入點注入純粹數(shù)學、注入初等數(shù)學，為算術(shù)（數(shù)學）公理與數(shù)論的“”指明了正確的前進方向！為什么，并非質(zhì)疑算術(shù)（數(shù)學）公理的正確性，而是科學地回答算術(shù)（數(shù)學）公理蘊涵著的基本
原理與哲理；
應(yīng)用數(shù)學順應(yīng)了的客觀規(guī)律，并得到人類無數(shù)次實踐的檢驗與證明，早已被實踐證明了是正確的自然科學真理，純粹數(shù)學（數(shù)學基礎(chǔ)）的理論依然處于探索之中，這就是純粹數(shù)學（數(shù)學基礎(chǔ)）的基本現(xiàn)狀，…；常言道，最簡單的、最質(zhì)樸恰恰是最深奧的，數(shù)學被應(yīng)驗了，為什么，一個最簡單的數(shù)值邏輯，蘊涵著最深刻的真理對立統(tǒng)一規(guī)律、廣義整數(shù)、廣義數(shù)學真理。
數(shù)學中的整數(shù)擁有科學抽象的廣義單位“1”，分數(shù)形式的半整數(shù)（半整數(shù)）擁有廣義的科學抽象最大的分數(shù)單位
、小數(shù)形式的半整數(shù)（半整數(shù)）擁有廣義的科學抽象最大的單位小數(shù)“0.5”，這就是數(shù)學（算術(shù)）的最為抽象的數(shù)學意義，依照邏輯、概念、定義分數(shù)就是分數(shù)、擁有分數(shù)性質(zhì)、小數(shù)就是小數(shù)、擁有小數(shù)性質(zhì)，然而卻偏偏冒出一個半整數(shù)的半整性質(zhì)（相對整性質(zhì)）來，考驗人類科學的智慧與勇氣！…。
16
、
狹義·
數(shù)學
真理
：
偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除、實無限、實數(shù)系、數(shù)理邏輯高等數(shù)學、經(jīng)典的數(shù)論與集合論等等統(tǒng)稱為狹義數(shù)學真理，狹義數(shù)學真理很有必要突破傳統(tǒng)經(jīng)典數(shù)論、集合論的束縛！發(fā)展成為廣義整數(shù)、廣義數(shù)學真理，...。
17
、
廣義·
數(shù)學
真理
：
偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除、奇數(shù)（包括素數(shù)）卻能被2半整除、奇數(shù)與偶數(shù)（整數(shù)與半整數(shù)）相反相成、對立統(tǒng)一，蘊涵著對立統(tǒng)一規(guī)律，為什么
潛無限理性認識、實無限理性認識、廣義整數(shù)、數(shù)值辯證邏輯、數(shù)理邏輯等等內(nèi)涵的數(shù)學真理統(tǒng)稱為廣義數(shù)學真理，廣義整數(shù)是數(shù)學真理最新發(fā)現(xiàn)之一。
18
、潛無限：
…。
19
、實無限：
…。
20
、
有理數(shù)
：
將廣義整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，廣義整數(shù)包含著整數(shù)（分數(shù)形式的整數(shù)）、分數(shù)形式的半整數(shù)，分數(shù)包含著分數(shù)形式的半整數(shù)、普通分數(shù)；也可以將廣義整數(shù)與小數(shù)形式的半整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，廣義整數(shù)包含著整數(shù)與小數(shù)形式的半整數(shù)，小數(shù)包含著小數(shù)形式的半整數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、有限循環(huán)小數(shù)、有限不循環(huán)小數(shù)（潛無限·不循環(huán)小數(shù)）、普通小數(shù)，因為半整數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)。
21
、
有理數(shù)系
：
事實證明，完全有必要把有理數(shù)（域）提升到有理數(shù)系統(tǒng)高度去把握，將有理數(shù)數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)和深刻內(nèi)涵統(tǒng)稱為初等數(shù)學有理數(shù)系統(tǒng)、簡稱為有理數(shù)系（統(tǒng)），有理數(shù)系是無限開放著的數(shù)值·邏輯·公理體系、永遠不會終極、永遠不會枯竭的數(shù)值·邏輯·公理體系，縱橫向上只有起點而無終點，正如人文無限和哲學無限的內(nèi)涵——無窮無盡，一脈相承；有理數(shù)系并無什么缺憾，因為有理數(shù)系蘊涵著潛無限·不循環(huán)小數(shù)，盡管潛無限·不循環(huán)小數(shù)還不是真正的無理數(shù)，它卻是無理數(shù)的化身、擁有無理數(shù)的要素和成分，潛無限·不循環(huán)小數(shù)具有無理數(shù)的應(yīng)用價值，實際上是有理數(shù)與潛無限·不循環(huán)小數(shù)為初等數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學奠定著堅實的基礎(chǔ)，數(shù)學也要實事求是，當然有理數(shù)（域）系不能替代實數(shù)系，…。
22
、
實數(shù)
：
把
有理數(shù)和
無理數(shù)統(tǒng)稱為
實數(shù)，…。
23
、
實數(shù)
系：
參見數(shù)學詞典，……。
24
、
廣義
整數(shù)、
廣義
數(shù)學真理客觀的科學證據(jù)：
廣義整數(shù)、廣義數(shù)學真理究竟是正確的還是錯誤的？是數(shù)學真理還是數(shù)學謬論？如果屬于數(shù)學真理會有什么應(yīng)用價值？它困擾、困惑著許多的人們，廣義整數(shù)有何意義？以往的確無法正確回答如此數(shù)學問題，… ；不久前，一次偶然的機遇我看到了
量子力學，
等等，
我發(fā)現(xiàn)了科學證據(jù)，數(shù)學潛無限、離散量、廣義整數(shù)原來是
量子力學的基礎(chǔ)，原來廣義整數(shù)揭示著宇宙中
微觀世界的
原子、
中子、
質(zhì)子、核外
電子等等粒子、
費米子、
玻色子的
自旋規(guī)律，整數(shù)與分數(shù)形式的半整數(shù)（小數(shù)形式的半整數(shù)）的數(shù)值邏輯對立統(tǒng)一規(guī)律揭示著，無論是宏觀世界還是微觀世界都蘊含著對立統(tǒng)一規(guī)律，對立統(tǒng)一規(guī)律是
宇宙的普遍規(guī)律，費米子與玻色子的自旋運動規(guī)律亦蘊涵著對立統(tǒng)一規(guī)律，譬如
費米子
的
自旋
規(guī)律分別遵循
玻色子
的
自旋
規(guī)律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此廣義整數(shù)、廣義數(shù)學真理為量子力學奠定堅實基礎(chǔ)，
量子力學
的
半整數(shù)
又為
廣義
整數(shù)、
廣義
數(shù)學真理提供客觀上的科學證據(jù)與客觀支持，
…，潛無限、廣義整數(shù)、廣義數(shù)學真理的確派上了用場，盡管我們的前人在量子力學中對形如
（
）
的數(shù)稱之為
半整數(shù)，即量子力學中管
，
，
，
，
，
，
…
叫
半整數(shù)，量子力學的
半整數(shù)的確亦尚未對半整數(shù)形成完整的理性認識，
半整數(shù)從直覺上已意識到了是介于整數(shù)與普通分數(shù)的中間數(shù)或者說是介于整數(shù)與普通小數(shù)的中間數(shù)，潛意識中已帶有“半整或相對整”的性質(zhì)了、但又不同于整數(shù)的性質(zhì)，廣義·整數(shù)、廣義·數(shù)學真理擁有多方位實際的應(yīng)用價值，毋容置疑半整數(shù)擁有半整性質(zhì)，半整數(shù)與半整分數(shù)、半整小數(shù)相吻合、巧合，不僅如出一轍，
半整數(shù)擁有半整性質(zhì)，半整性質(zhì)與相對整性質(zhì)（數(shù)學的相對整性質(zhì)性質(zhì)與量子力學的半整性質(zhì)）一脈相承，半整數(shù)與分數(shù)形式的半整數(shù)、小數(shù)形式的半整數(shù)其內(nèi)涵與外延、數(shù)值完全
等價，半整數(shù)與整數(shù)相反相成對立統(tǒng)一，蘊含著的對立統(tǒng)一規(guī)律，因此，
費米子
的
自旋與
玻色子
的
自旋蘊含著對立統(tǒng)一規(guī)律，…。
人們生活中的用語：半小時、半點新聞、半天、半月、半年、東半球、西半球、半個世紀等等、即半整數(shù)如此都是直覺認識，如果對半整數(shù)或0.5提升理性認識，半整數(shù)或0.5擁有半整性質(zhì)或擁有相對整·性質(zhì)，便會形成理性認識；廣義·數(shù)學真理為量子力學奠定堅實基礎(chǔ)，量子力學的半整數(shù)又為廣義整數(shù)、廣義數(shù)學真理提供客觀上的科學理論證據(jù)與支持，為什么1+1=2并非空談數(shù)學理論，而是擁有實實在在的應(yīng)用價值，…。
25
、推論：實無限、實數(shù)系辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)依然是連鎖形式的（辯證推理）：
潛無限向縱深發(fā)展的過程中有限不循環(huán)小數(shù)、尤其是潛無限·不循環(huán)小數(shù)將會接近或者達到無理數(shù)數(shù)值實無限的程度（這當然是推論），實無限、實數(shù)系辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)的內(nèi)容與形式依然是自然連鎖形式的，依然相互派生子集合，半整數(shù)
依然從系統(tǒng)發(fā)展變化的過程中分化出來，充分地體現(xiàn)其半整性質(zhì)，或者說、半整數(shù)依然會從系統(tǒng)發(fā)展變化的過程中產(chǎn)生分化出來，充分地十足地體現(xiàn)其半整性質(zhì)，為奇數(shù)（包括素數(shù)）能被2半整除提供客觀的科學理論依據(jù)，蘊涵著完整的數(shù)學（算術(shù)）運算公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數(shù)關(guān)系，實無限、實數(shù)系辯證數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)如下，
的基數(shù)均為實數(shù)、其他依次類推，符號↓依然是指相互派生子集合（推論僅以正的為代表）：
三、結(jié)語：
費米子
的
自旋
規(guī)律分別遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
規(guī)律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此事實證明引進廣義內(nèi)涵的整數(shù)
純粹數(shù)學（
數(shù)學基礎(chǔ)
）基本理論的深刻變革必將揭開廣義內(nèi)涵數(shù)學真理的新篇章，
…。
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