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杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，是分析杠桿受力平衡的定理，最早由古希臘科學(xué)家阿基米德提出。杠桿要達(dá)到受力平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力矩（力與力臂的乘積）必須大小相等，旋轉(zhuǎn)方向相反。也就是說(shuō)，杠桿的平衡條件必須滿足：動(dòng)力×動(dòng)力臂必須等于阻力×阻力臂，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：F×L點(diǎn)評(píng)一下:杠桿原理(杠桿受力平衡原理)杠桿原理
杠桿受力平衡原理
物理學(xué)力學(xué)定理
基本信息
| 中文名 | 杠桿原理 |
| 外文名 | lever principle |
| 表達(dá)式 | F1·L1=F2·L2 |
| 應(yīng)用學(xué)科 | |
| 提出時(shí)間 | 公元前三世紀(jì) |
| 提出者 | 阿基米德、墨子 |
| 適用領(lǐng)域 | 杠桿力學(xué) |
| 別名 | 杠桿平衡條件 |
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原理提出
古希臘科學(xué)家阿基米德最早在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理。他曾有一句廣為流傳的名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起整個(gè)地球！”，這句話說(shuō)的便是杠桿原理。
在杠桿原理提出之前，阿基米德先把杠桿實(shí)際中的一些經(jīng)驗(yàn)知識(shí)當(dāng)作“不證自明的公理”，這些公理包括
1）在無(wú)重量的桿的兩端離支點(diǎn)相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；
2）在無(wú)重量的桿的兩端離支點(diǎn)相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；
3）在無(wú)重量的桿的兩端離支點(diǎn)不相等距離處掛上相等重量，距離遠(yuǎn)的一端將下 傾；
4）一個(gè)重物的作用可以用幾個(gè)均勻分布的重物的作用來(lái)代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個(gè)均勻分布的重物可以用一個(gè)懸掛在它們的重心處的重物來(lái)代替
然后，基于這些公理，他運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀螌W(xué)及邏輯論，提出了杠桿原理。阿基米德認(rèn)為，二重物平衡時(shí)，它們離支點(diǎn)的距離與重量成反比。
阿基米德除了對(duì)杠桿進(jìn)行研究理論外，還將該原理付諸于實(shí)踐。據(jù)說(shuō)，他曾借助杠桿和滑輪組，使停放在沙灘上的船只順利下水；在保衛(wèi)敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰(zhàn)斗中，他利用杠桿原理制造了遠(yuǎn)、近距離的投石器，發(fā)射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻于敘拉古城外達(dá)3年之久。
中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的墨子也曾對(duì)杠桿進(jìn)行過(guò)探究。據(jù)《墨子 · 經(jīng)說(shuō)下》記載：“衡，加重于其一旁，必捶，權(quán)重相若也。相衡，則本短標(biāo)長(zhǎng)。兩加焉重相若，則標(biāo)必下，標(biāo)得權(quán)也”。這兩條對(duì)杠桿的平衡說(shuō)得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改變兩端重量使它偏動(dòng)的，也有改變兩臂長(zhǎng)度使它偏動(dòng)的。
受力分析
使用杠桿時(shí)，為了省力，就應(yīng)該用動(dòng)力臂比阻力臂長(zhǎng)的杠桿；如果想要省距離，就應(yīng)該用動(dòng)力臂比阻力臂短的杠桿。因此使用杠桿可以省力，也可以省距離。但是，要想省力，就必須多移動(dòng)距離；要想少移動(dòng)距離，就必須多費(fèi)些力。要想又省力而又少移動(dòng)距離，是不可能實(shí)現(xiàn)的。
杠桿的支點(diǎn)不一定要在中間，滿足以下三個(gè)點(diǎn)的系統(tǒng)，基本上就是杠桿：支點(diǎn)、施力點(diǎn)、受力點(diǎn)。
其中，力矩平衡公式這樣寫：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，即F1×L1=F2×L2。這就是一個(gè)杠桿。
動(dòng)力臂延伸
杠桿有省力杠桿，也有費(fèi)力杠桿，兩者功能表現(xiàn)有所不同。例如腳踩的打氣機(jī)，手壓的榨汁機(jī)，就是省力杠桿 (動(dòng)力臂 > 阻力臂）；盡管省力了，但我們卻要壓下較大的距離，受力端只有較小的動(dòng)作。另有一種是費(fèi)力杠桿。例如路邊的吊車，釣東西的鉤子在整個(gè)桿的尖端，尾端是支點(diǎn)、中間是油壓機(jī) (力矩 > 力臂），這就是費(fèi)力的杠桿。但費(fèi)力換來(lái)的是中間的施力點(diǎn)只要?jiǎng)有【嚯x，尖端的掛勾就會(huì)移動(dòng)相當(dāng)大的距離。
兩種杠桿都有用處，不同的應(yīng)用場(chǎng)景需要評(píng)估是要省力或是省下動(dòng)作范圍。另外，有種機(jī)械叫輪軸，也可當(dāng)作是一種杠桿的應(yīng)用，只是表現(xiàn)上有時(shí)需要增加轉(zhuǎn)動(dòng)的計(jì)算。
阿基米德的名言："假如給我一個(gè)支點(diǎn)，就能撬起地球！"不僅催人奮進(jìn)，更有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)根據(jù)。
平衡
杠桿平衡是指杠桿在動(dòng)力和阻力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)下或者勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)下。杠桿受力通常有兩種情況。
1）杠桿上受兩個(gè)力作用時(shí)
動(dòng)力×支點(diǎn)到動(dòng)力作用線的距離=阻力×支點(diǎn)到阻力作用線的距離，即動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，代數(shù)式表示為F1×L1=F2×L2
2）杠桿上受多個(gè)力作用時(shí)
所有使杠桿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力的大小與其對(duì)應(yīng)力臂的乘積等于使杠桿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力的大小與其對(duì)應(yīng)力臂的乘積。這也叫作杠桿的順逆原則，同樣適用于只受兩個(gè)力作用的情況。
分類
人體杠桿
費(fèi)力杠桿
人體中大部分杠桿為費(fèi)力杠桿，也有小部分是等臂和省力杠桿。
點(diǎn)一下頭或抬一下頭是靠杠桿的作用，杠桿的支點(diǎn)在脊柱之頂，支點(diǎn)前后各有肌肉，頭顱的重量是阻力。支點(diǎn)前后的肌肉配合起來(lái)，有的收縮有的拉長(zhǎng)配合起來(lái)形成低頭仰頭。
當(dāng)曲肘把重物舉起來(lái)的時(shí)候，手臂也是一個(gè)杠桿。肘關(guān)節(jié)是支點(diǎn)，支點(diǎn)左右都有肌肉。這是一種費(fèi)力杠桿，舉起一份的重量，肌肉要花費(fèi)6倍以上的力氣，雖然費(fèi)力，但是可以省一定距離。
當(dāng)你把腳尖翹起來(lái)的時(shí)候，是腳跟后面的肌肉在起作用，腳尖是支點(diǎn)，體重落在兩者之間。這是一個(gè)省力杠桿，肌肉的拉力比體重要小。而且腳越長(zhǎng)越省力。
如果你彎一下腰，肌肉就要付出接近1200牛頓的力量。這是 由于在腰部肌肉和脊骨之間形成的杠桿也是一個(gè)費(fèi)力杠桿。所以在彎腰提起立物時(shí)，正確的姿式是盡量使重物離身體近一些，以避免肌肉被拉傷。
定律
歷史故事
舉起地球
阿基米德將自己鎖在一間小屋里，夜以繼日地埋頭寫作《浮體論》。這天，一位朝臣突然闖進(jìn)來(lái)，一進(jìn)門就喊道：“原來(lái)您躲在這里。國(guó)王正調(diào)動(dòng)人馬四處找你呢。阿基米德心想：外面一定出大事了。他立即收拾起書稿，隨大臣一同出去，直奔王宮。
當(dāng)他們來(lái)到宮殿前，看見(jiàn)衛(wèi)兵們銀槍鐵盔，殿內(nèi)文武滿座，國(guó)王正焦急地在地毯上來(lái)回踱步，宮殿內(nèi)的長(zhǎng)條案上擺著海防圖、陸防圖。阿基米德知道，他最擔(dān)心的戰(zhàn)爭(zhēng)終于爆發(fā)了。
原來(lái)地中海沿岸的羅馬王朝和迦太基連年征戰(zhàn)，雙方互有勝負(fù)。敘拉古是夾在迦、羅兩個(gè)強(qiáng)國(guó)中的城邦小國(guó)，常常隨著兩個(gè)強(qiáng)國(guó)的勝負(fù)而棄弱附強(qiáng)，飄忽不定。阿基米德對(duì)這種外交策略很不放心，曾多次告誡國(guó)王，不要惹禍上身?？墒菙⒗诺膰?guó)王年少無(wú)知，剛愎自用，惹惱了羅馬人。現(xiàn)在打了勝仗的羅馬人決定從海陸兩路進(jìn)攻敘拉古，國(guó)王嚇得沒(méi)了主意。當(dāng)他看到阿基米德來(lái)了，連忙懇求道：“親愛(ài)的阿基米德，你是最聰明的人，先王在世時(shí)說(shuō)過(guò)你都能推動(dòng)地球。”
關(guān)于阿基米德推動(dòng)地球的說(shuō)法，要追溯到他在亞歷山大里亞留學(xué)。當(dāng)時(shí)，他從埃及農(nóng)民提水用的吊桿和奴隸們撬石頭用的撬棍受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以借助杠桿來(lái)達(dá)到省力的目的，而且發(fā)現(xiàn)，手握的地方到支點(diǎn)的這一段距離越長(zhǎng)，就越省力氣。由此他提出了這樣一個(gè)定理：力臂和力（重量）的關(guān)系成反比例。這就是杠桿原理。用現(xiàn)在的表達(dá)方式表述就是：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂。為此，他曾給當(dāng)時(shí)的國(guó)王亥尼洛寫信說(shuō)： `我不費(fèi)吹灰之力，就可以隨便移動(dòng)任何重量的東西；只要給我一個(gè)支點(diǎn)，給我一根足夠長(zhǎng)的杠桿，我連地球都可以推動(dòng)。'
可現(xiàn)在的國(guó)王并不懂得什么叫科學(xué)，他只知道大難臨頭了，希望阿基米德能夠救駕。
可是羅馬軍隊(duì)實(shí)在太厲害了，四個(gè)羅馬陸軍軍團(tuán)已經(jīng)挺進(jìn)到了敘拉古城的西北，城外鼓聲齊鳴，殺聲震天。危急關(guān)頭，阿基米德說(shuō)到：“如果單靠實(shí)力，我們決不是羅馬人對(duì)手?，F(xiàn)在若能造出一種新式武器來(lái)，或許還可守住城池，以待援兵?！眹?guó)王一聽(tīng)這話，立即轉(zhuǎn)憂為喜，讓阿基米德全權(quán)指揮這場(chǎng)守衛(wèi)戰(zhàn)。
兩天后，整齊的羅馬軍團(tuán)方陣向護(hù)城河攻來(lái)。突然，城里隱約傳來(lái)吱呀的響聲，接著城頭上飛出大大小小的石塊，山洪般地傾瀉下來(lái)。羅馬人漸漸支持不住了，連滾帶爬地四散逃命。
阿基米德到底造出了什么秘密武器讓羅馬人大敗而歸呢? 原來(lái)他制造出了特大的弩弓—投石機(jī)。這是一種巨大的弓，人是根本拉不動(dòng)的，他利用了杠桿原理。只要將弩上轉(zhuǎn)軸的搖柄用力扳動(dòng)，那與搖柄相連的牛筋又拉緊許多根牛筋組成的粗弓弦，拉到最緊時(shí)，再突然一放，弓弦就帶動(dòng)載石裝置，把石頭高高地拋出城外。原來(lái)這杠桿原理并不是簡(jiǎn)單使用一根直棍撬東西。
擊敗從西北攻城的羅馬陸軍軍團(tuán)之后，又有戰(zhàn)報(bào)傳來(lái)，羅馬海軍從東南海面上發(fā)動(dòng)了攻勢(shì)。當(dāng)羅馬戰(zhàn)船開(kāi)到敘拉古城下，士兵們拿著云梯正要往墻上搭的時(shí)候，突然城頭上伸出了幾副木頭架子，木架上垂下一條條鐵鏈，鏈頭上有鐵鉤、鐵爪，鉤住了羅馬海軍的戰(zhàn)船。任水兵們?cè)鯓邮箘艅潣?，用刀砍，用火燒，大鐵鏈分毫無(wú)損，戰(zhàn)船不能挪動(dòng)半步。正當(dāng)船上一片驚慌時(shí)，只見(jiàn)大木架上的木輪又“嘎嘎”地轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，鐵鏈越拉越緊，船漸漸地被吊起離開(kāi)了水面。隨著船身的傾斜，士兵們紛紛掉進(jìn)了海里，桅桿也被折斷了……阿基米德的這些"怪物"原來(lái)也是利用了杠桿原理，并加了滑輪。
事件真相
“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起地球！”，這是古代發(fā)現(xiàn)杠桿原理的阿基米德說(shuō)的話。阿基米德知道，如果利用杠桿，就能用一個(gè)很小的力，把非常重的東西舉起來(lái)，只要把這個(gè)力放在杠桿的長(zhǎng)臂上，而讓短臂對(duì)重物起作用。
然而如果這個(gè)古代偉大科學(xué)家知道了地球的質(zhì)量，他也許就不會(huì)這樣夸口了。讓我們?cè)O(shè)想阿基米德真的找到了另一個(gè)地球做支點(diǎn)；再設(shè)想他也做成了一根夠長(zhǎng)的杠桿。你知道他得用多少時(shí)間才能把質(zhì)量等于地球的一個(gè)重物舉起，哪怕只舉起1cm呢？至少要30萬(wàn)億年！
地球的質(zhì)量到底有多大呢？大約是：
kg。
如果一個(gè)人只能直接舉起60kg的重物，那么他要“舉起地球”，就得把自己的手放在一根這樣長(zhǎng)的杠桿上，他的長(zhǎng)臂應(yīng)當(dāng)?shù)扔谒亩瘫鄣?/span>
倍。
這就是說(shuō)，阿基米德如果要把地球舉起1cm，他那扶著杠桿的手就得移動(dòng)大到這樣不可想象的一個(gè)距離！那么他要用多少時(shí)間才能做完這件事呢？如果我們認(rèn)為阿基米德能在一秒中里把60kg的重物舉高一米（這種工作能力已經(jīng)幾乎等于一馬力！），那么，他要把地球舉起1cm，就得用去
秒，即三萬(wàn)億年！可見(jiàn)阿基米德根本無(wú)法完成這個(gè)任務(wù)。
關(guān)于撬起地球還有另一種解讀，阿基米德說(shuō)的是撬起地球，而不是說(shuō)撬起地球1cm。他在長(zhǎng)杠桿的另一頭，只需要撬動(dòng)1m，相應(yīng)的地球也會(huì)移動(dòng)
m，地球移動(dòng)的距離可能很短很短，但是不管如何，地球還是動(dòng)了。
參考資料
[1]
王寶琪 . 阿基米德與杠桿 : 《數(shù)學(xué)大世界(上旬)》雜志 ，2014-8
[2]
杠桿原理在數(shù)學(xué)里怎么用 · 好二三四[引用日期2022-11-30]
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