小編整理: 二階導數(shù)是一階導數(shù)的導數(shù),它表示一階導數(shù)的變化率。從原理上,它反映了一階導數(shù)在某一點的斜率,也就是函數(shù)在該點變化的快慢程度。
具體來說,如果二階導數(shù)大于0,則一階導數(shù)在該點附近上升,函數(shù)在該點附近較陡峭,圖像在該點附近呈凹形;如果二階導數(shù)小于0,則一階導數(shù)在該點附近
下降 ,函數(shù)在該點附近較平緩,圖像在該點附近呈凸形。
從另一個角度來看,二階導數(shù)也可以用來判斷函數(shù)的極值點。如果一個點是函數(shù)的極值點,那么在該點附近,一階導數(shù)等于0,而二階導數(shù)必須為0。因此,通過判斷二階導數(shù)是否為0,可以確定函數(shù)是否有極值點。
總之,二階導數(shù)是研究函
數(shù)圖 像的重要工具,它可以
幫助 我們更好地理解函數(shù)的性質和變化趨勢。
二階導數(shù)
基本信息
外文名
the second derivative test
代數(shù)記法 例如: 的導數(shù)為 ,二階導數(shù)即 的導數(shù)為 。
幾何意義 (1)切線斜率變化的速度,表示的是一階導數(shù)的變化率。
這里以物理學中的瞬時加速度為例:
可如果加速度并不是恒定的,某點的加速度表達式就為:
將這種思想應用到函數(shù)中即是數(shù)學所謂的二階導數(shù)
定義 以導數(shù)定義法定義:如果函數(shù) 的導數(shù) 在x處可導,則稱 的導數(shù)為函數(shù) 在點x處的二階導數(shù),記為 。 以極限定義法定義:函數(shù) 在 處的二階導數(shù) 是 導函數(shù) 在 處的導數(shù),即
物理意義 以 物理運動 為例,我們知道, 變速直線運動 的速度u(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù),即 這種導數(shù)的導數(shù) 或 稱為 對 的二階導數(shù),記作 所以,直線運動的加速度就是位置函數(shù)是s(t)對時間t的二階導數(shù)。
性質 (1)如果一個函數(shù) 在某個區(qū)間 上有 (即二階導數(shù))>0 恒成立 ,那么對于區(qū)間 上的任意 總有: ,如果總有 成立,那么上式的 不等號 反向。 幾何的直觀解釋:如果一個函數(shù) f(x) 在某個區(qū)間I上有 (即二階導數(shù))>0恒成立,那么在區(qū)間 上 的圖象上的任意兩點連出的一條線段,這兩點之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方,反之在該線段的上方。 (2)判斷函數(shù)極大值以及極小值。
結合一階、二階導數(shù)可以求函數(shù)的極值。當一階導數(shù)等于0,而二階導數(shù)大于0時,為極小值點。當一階導數(shù)等于0,而二階導數(shù)小于0時,為極大值點;當一階導數(shù)和二階導數(shù)都等于0時,為駐點。
(3)函數(shù)凹凸性。
設 在 上連續(xù),在 內具有一階和二階導數(shù),那么,
例題 解:用導數(shù)定義求解: