全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（每年9月中旬左右舉辦的數(shù)學(xué)競賽）

聯(lián)盟簡介

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

競賽分為一試和二試，在這項競賽中取得優(yōu)異成績的全國約400名學(xué)生有資格參加由中國數(shù)學(xué)會奧林匹克委員會主辦的“中國數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)暨全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營”(每年11月)。各省的參賽名額由4人到30人不等，視該省當年的聯(lián)賽考試成績而定，且對于承辦方省份有一定額外的優(yōu)惠。

為了促進拔尖人才的盡快成長，教育部規(guī)定：在高中階段獲得全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽省、市、自治區(qū)賽區(qū)一等獎?wù)弑惬@得保送重點大學(xué)的資格，對于沒有保送者在高考中加分，加分情況根據(jù)各省市政策而定，有些省、市、自治區(qū)保留了競賽獲獎?wù)吒呖技?分到20分不等，而部分省級行政區(qū)已經(jīng)取消了競賽加分。對二、三等獎獲得者，各省、市、自治區(qū)又出臺了不同的政策，其中包括自主招生資格等優(yōu)惠錄取政策。為嚴格標準，中國數(shù)學(xué)會每年限定一等獎名額1000名左右，并劃分到各省、市、自治區(qū)。各省、市、自治區(qū)在上報一等獎候選人名單的同時，還要交上他們的試卷，最終由中國數(shù)學(xué)會對其試卷審核后確定獲獎名單。

在華羅庚、蘇步青等老一輩數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo)下，從1956年起，開始舉辦中學(xué)數(shù)學(xué)競賽，在北京、上海、福建、天津、南京、武漢、成都等省市都開展了數(shù)學(xué)競賽，并舉辦了由京、津、滬、粵、川、遼、皖合辦的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽。

1979年，我國大陸上的29個省、市、自治區(qū)都舉辦了中學(xué)數(shù)學(xué)競賽。

1980年，在大連召開的第一屆全國數(shù)學(xué)普及工作會議上確定將數(shù)學(xué)競賽作為中國數(shù)學(xué)會及各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)會的一項經(jīng)常性工作，每年10月中旬的第一個星期日舉行“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”。

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽旨在選拔在數(shù)學(xué)方面有突出特長的同學(xué)，讓他們進入全國知名高等學(xué)府，而且選拔成績比較優(yōu)異的同學(xué)進入更高級別的競賽，直至國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）。并且通過競賽的方式，培養(yǎng)中學(xué)生對于數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生們愛好數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生們的鉆研精神，獨立思考精神以及合作精神。

比賽規(guī)則

《高中數(shù)學(xué)競賽大綱（修訂稿）》

中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會制定

在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指引下，全國數(shù)學(xué)競賽活動方興未艾，特別是連續(xù)幾年我國選手在國際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得了可喜的成績，使廣大中小學(xué)師生和數(shù)學(xué)工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數(shù)學(xué)競賽活動進入了一個新的階段。為了使全國數(shù)學(xué)競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，應(yīng)廣大中學(xué)師生和各級數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《數(shù)學(xué)競賽大綱》以適應(yīng)當前形勢的需要。

本大綱是在國家教委制定的全日制中學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”的精神和基礎(chǔ)上制定的?！督虒W(xué)大綱》在教學(xué)目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，激勵學(xué)生為實現(xiàn)四個現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性?！本唧w作法是：“對學(xué)有余力的學(xué)生，要通過課外活動或開設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視能力的培養(yǎng)……，著重培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考和自學(xué)的能力”。

《教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內(nèi)容的理解程度與靈活運用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學(xué)為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強基礎(chǔ)，不斷提高。

自2019年起，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題新規(guī)則如下：

聯(lián)賽分為一試、加試（即俗稱的“二試”）。各個省份自己組織的“初賽”、“初試”、“復(fù)賽”等等，都不是正式的全國聯(lián)賽名稱及程序。

一試和加試均在每年9月中旬的第一個周日舉行。

一試考試時間為8：00—9：20，共80分鐘，包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分、20分、20分），滿分120分。

二試考試時間為9：40—12：30，共170分鐘，包括4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個方面。前兩題每題40分，后兩題每題50分，滿分180分。?

依據(jù)考試結(jié)果評選出各省級賽區(qū)級一、二、三等獎。其中一等獎由各省負責(zé)閱卷評分，然后將一等獎的考卷寄送到主辦方（當年的主辦方），由主辦方復(fù)評，最終由主管單位（中國科協(xié)）負責(zé)最終的評定并公布。二、三等獎由各個省自己決定。

各省、市、自治區(qū)賽區(qū)一等獎排名靠前的同學(xué)可參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）。

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所規(guī)定的知識范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。

1、平面幾何

基本要求：掌握高中數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。

補充要求：面積和面積方法。

幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點--重心。

幾何不等式。

簡單的等周問題。了解下述定理：

在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。

在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。

在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。

在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。

幾何中的運動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。

復(fù)數(shù)方法、向量方法。

平面凸集、凸包及應(yīng)用。

2、代數(shù)

在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：

周期函數(shù)與周期，帶絕對值的函數(shù)的圖像。

三倍角公式，三角形的一些簡單的恒等式，三角不等式。

第二數(shù)學(xué)歸納法。

遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。

函數(shù)迭代，求n次迭代，簡單的函數(shù)方程。

n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用。

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根的應(yīng)用。

圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡單的組合恒等式。

一元n次方程（多項式）根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實系數(shù)方程虛根成對定理。

簡單的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點及其性質(zhì)。

3、立體幾何

多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。

正多面體，歐拉定理。

體積證法。

截面，會作截面、表面展開圖。

4、平面解析幾何

直線的法線式，直線的極坐標方程，直線束及其應(yīng)用。

二元一次不等式表示的區(qū)域。

三角形的面積公式。

圓錐曲線的切線和法線。

圓的冪和根軸。

5、其它

抽屜原理。

容斥原理。

極端原理。

集合的劃分。

覆蓋。

梅涅勞斯定理

托勒密定理

西姆松線的存在性及性質(zhì)(西姆松定理)。

賽瓦定理及其逆定理。

（修訂討論稿）

中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會制定

（2006年8月）

從1981年中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會舉辦全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽以來，在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指導(dǎo)下，全國數(shù)學(xué)競賽活動方興未艾，每年一次的數(shù)學(xué)競賽吸引了上百萬學(xué)生參加。1985年我國步入國際數(shù)學(xué)奧林匹克殿堂，加強了數(shù)學(xué)課外教育的國際交流，20年來我國已躋身于IMO強國之列。數(shù)學(xué)競賽活動對于開發(fā)學(xué)生智力、開拓視野、促進教學(xué)改革、提高教學(xué)水平、發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才都有著積極的作用。這項活動也激勵著廣大青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，吸引他們?nèi)ミM行積極的探索，不斷培養(yǎng)和提高他們的創(chuàng)造性思維能力。數(shù)學(xué)競賽的教育功能顯示出這項活動已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個重要組成部分。

為了使全國數(shù)學(xué)競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會于1994年制定了《高中數(shù)學(xué)競賽大綱》，這份大綱的制定對高中數(shù)學(xué)競賽活動的開展起到了很好的指導(dǎo)性作用，我國高中數(shù)學(xué)競賽活動日趨規(guī)范化和正規(guī)化。

同時，隨著國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽活動的發(fā)展，對競賽活動所涉及的知識、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原來的《高中數(shù)學(xué)競賽大綱》已經(jīng)不能適應(yīng)新形勢的發(fā)展和要求。經(jīng)過廣泛征求意見和多次討論, 對《高中數(shù)學(xué)競賽大綱》進行了修訂。

本大綱是在《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的精神和基礎(chǔ)上制定的?！度罩破胀ǜ呒壷袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》指出：“要促進每一個學(xué)生的發(fā)展，既要為所有的學(xué)生打好共同基礎(chǔ)，也要注意發(fā)展學(xué)生的個性和特長；……在課內(nèi)外教學(xué)中宜從學(xué)生的實際出發(fā)，兼顧學(xué)習(xí)有困難和學(xué)有余力的學(xué)生，通過多種途徑和方法，滿足他們的學(xué)習(xí)需求，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。”

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當是一個生動活潑、富有個性的過程，不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)閱讀自學(xué)、自主探索、動手實踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。教師要根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)、不同水平、不同興趣和發(fā)展方向給予具體的指導(dǎo)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動地從事數(shù)學(xué)活動，從而使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)的思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。對于學(xué)有余力并對數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生，教師要為他們設(shè)置一些選學(xué)內(nèi)容，提供足夠的材料，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。

教育部2000年《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內(nèi)容，在理解程度、靈活運用能力以及方法與技巧掌握的熟練程度等方面有更高的要求?！罢n堂教學(xué)為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實際情況，使不同程度的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到相應(yīng)的發(fā)展，并且要貫徹“少而精”的原則。

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(加試)在知識方面有所擴展，適當增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加內(nèi)容是：

1．平面幾何

西姆松定理；

三角形旁心、費馬點、歐拉線；

幾何不等式；

幾何極值問題；

幾何中的變換：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)；

圓的冪和根軸

面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。

2．代數(shù)

周期函數(shù)，帶絕對值的函數(shù)；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)

遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項公式；

第二數(shù)學(xué)歸納法；

均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)及其應(yīng)用；

復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；

多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數(shù)多項式的有理根*，多項式的插值公式*；

n次多項式根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實系數(shù)多項式虛根成對定理；

函數(shù)迭代，求n次迭代*，簡單的函數(shù)方程*。

3．初等數(shù)論

同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[x]，費馬小定理，格點及其性質(zhì)，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

4．組合問題

圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式；

組合計數(shù)，組合幾何；

抽屜原理；

容斥原理；

極端原理；

圖論問題；

集合的劃分；

覆蓋；

平面凸集、凸包及應(yīng)用*。

有*號的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。

獲獎名單