一個數(shù)學(xué)家的辯白（一個數(shù)學(xué)家的辯白）

概述

本文用詞優(yōu)美，甚至有幾處引用了威廉·莎士比亞的詩文，這與普通的數(shù)學(xué)家平時所作的論文在語言方面有著大大的不同。不僅如此，從字里行間還可以體會到哈代的一種淡淡的憂傷。

《一個數(shù)學(xué)家的辯白》盡管有著較強的文學(xué)性質(zhì)，行文卻較為雜亂，讀者經(jīng)常會遇到中途轉(zhuǎn)移話題的情況。但總體上說，本文主要圍繞這三個主題展開：數(shù)學(xué)的美，數(shù)學(xué)的持久性和數(shù)學(xué)的重要性。

在本書的題目中，哈代所使用的“辯白”一詞表達的意思是一種正式的辯護或抗辯（就如同柏拉圖的《蘇格拉底的申辯》），而不是一種對寬恕的懇求，或?qū)Λ@得清白的希冀。

哈代覺得有必要為他一生在數(shù)學(xué)上的事業(yè)作辯解的原因有兩個：

第一，62歲的哈代覺得他已經(jīng)接近衰老（他在1939年曾幸免于一次突發(fā)的心臟病），同時，他的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力也在衰退。花時間寫這本辯白，意味著哈代認(rèn)為自己作為一個開創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家的時期已經(jīng)結(jié)束。在C·P·斯諾為該書1967年版所作的序中，他這樣描述哈代的這本辯白，“（它）是對曾經(jīng)所擁有的而現(xiàn)在已經(jīng)一去不返的創(chuàng)造力的深情挽歌”。用哈代本人的話來說，“解釋、評論、鑒賞，是次等工作。作為一個專業(yè)的數(shù)學(xué)家卻來寫關(guān)于數(shù)學(xué)的東西是悲哀的。數(shù)學(xué)家的使命在于做些實事，證明新的定理，使數(shù)學(xué)有所發(fā)展，而不是談?wù)撟约夯蚱渌麛?shù)學(xué)家做了些什么。

哈代認(rèn)為自己已經(jīng)沒有能力去積極發(fā)展新的數(shù)學(xué)思想了，他這樣寫到，“我之所以寫關(guān)于數(shù)學(xué)的書是因為，如同其他年過花甲的數(shù)學(xué)家一樣，我已經(jīng)沒有新思維，精力，或者說耐心，去繼續(xù)有效地做自己的工作。”于是，他覺得自己唯一還能為數(shù)學(xué)做點貢獻的便是寫一本探討數(shù)學(xué)的書，借以表達自己對這門學(xué)科的個人看法。

第二，在第二次世界大戰(zhàn)之初，哈代作為一個積極的反戰(zhàn)主義者，想為他的信仰——追求、探索數(shù)學(xué)的目的應(yīng)當(dāng)是出于數(shù)學(xué)的本身價值，而不是出于應(yīng)用價值——做出辯護。探索數(shù)學(xué)是為了數(shù)學(xué)的單純，為了它內(nèi)部的完善，為了明晰尚不清楚的概念。他想寫本書，向后輩的數(shù)學(xué)家闡述自己對數(shù)學(xué)的哲學(xué)認(rèn)識；從數(shù)學(xué)自身的重要性出發(fā)為數(shù)學(xué)做辯護，詳細(xì)說明純數(shù)學(xué)本身的價值——并不要依賴于應(yīng)用數(shù)學(xué)的成果去證明數(shù)學(xué)的重要性；同時能夠激勵正在成長中的一代純數(shù)學(xué)家。鑒于哈代是一個無神論者，他做出他的辯護是為了勉勵他的后繼者而不是為了獻給上帝。

本書中一個重要的主題是數(shù)學(xué)之美。

對于哈代來說，最美的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)沒有一點在現(xiàn)實世界的應(yīng)用，也即是他所說的純數(shù)學(xué)，尤其是他所鐘情的數(shù)論。他在為追求純數(shù)學(xué)辯解的同時，透露出了他關(guān)于純數(shù)學(xué)的“無用性”（uselessness）的觀點。所謂數(shù)學(xué)的無用性即是說純數(shù)學(xué)不會被濫用而導(dǎo)致傷害。而另一方面，哈代貶低應(yīng)用數(shù)學(xué)，甚至將其描述成“丑陋”、“瑣碎”和“乏味”的。

值得一提的是，并不是應(yīng)用數(shù)學(xué)中概念與定理的實用性使得哈代認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)比純數(shù)學(xué)更低一等，而是因為通常來說，這樣的數(shù)學(xué)會有更為普遍的應(yīng)用。哈代說，是內(nèi)容的簡單與平凡迫使他如此描述應(yīng)用數(shù)學(xué)的。根據(jù)哈代的定義，這些描述是否被賦予數(shù)學(xué)中的某一分支是由構(gòu)成這一分支基礎(chǔ)的潛在概念的創(chuàng)造性、深度以及美所決定的。

卡爾·弗雷德里希·高斯曾說過，“數(shù)學(xué)是科學(xué)中的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇后。”哈代教授對高斯這句話的評論則更加強調(diào)了這一點。有些人認(rèn)為是由于數(shù)論極端的無應(yīng)用性才使得高斯做出上述的陳述；然而，哈代指出這并不是主要緣由。就算數(shù)論的應(yīng)用被找到了，也不會有人會因此罷黜這一數(shù)學(xué)的皇后。哈代認(rèn)為高斯所想表達的意思是：構(gòu)成數(shù)論的潛在的概念比其它數(shù)學(xué)分支的更加深刻更加優(yōu)雅。

在本書中，哈代將數(shù)學(xué)與繪畫和詩歌作類比。他說道，數(shù)學(xué)家與畫家和詩人一樣，是模式的創(chuàng)造者。這一觀點與很多人一致，如科學(xué)作家艾薩克·阿西莫夫在第三部自傳《人生舞臺》中也提到這一點。

在第八節(jié)中，哈代談到數(shù)學(xué)的持久性。他提到，在所有的學(xué)科中，數(shù)學(xué)是最能使人好奇的，因為在其他學(xué)科中，真理都沒有占據(jù)如此重要的位置。后面他總結(jié)道，正如歷史所證實的，數(shù)學(xué)成就是最為持久的。接著他舉例，巴比倫和亞述文化都衰亡了，漢謨拉比，薩爾貢和尼布甲尼撒都成為了空洞的名字，然而巴比倫的數(shù)學(xué)仍然是精彩的——巴比倫所創(chuàng)造的60進制仍然在天文學(xué)中使用。

在第十一節(jié)中，哈代通過數(shù)學(xué)與國際象棋的比較，說明了數(shù)學(xué)的重要性（importance）。哈代談到，一個國際象棋問題的確是數(shù)學(xué)問題，但卻是“瑣碎的”（trivial）數(shù)學(xué)。不管每一步是如何的精巧，都不重要。哈代甚至因為這一言論而受到批評。在此處，哈代所指的“重要”并不是說某一數(shù)學(xué)所帶來的直接實際作用，而是數(shù)學(xué)思想所聯(lián)系的更多更有意義的內(nèi)容。一個重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，會帶來一些十分有意義的想法，聯(lián)系起很多個數(shù)學(xué)分支中各不相干的內(nèi)容，還可能會給數(shù)學(xué)甚至其他的科學(xué)帶來重大的進步。而象棋，即使是最重要的棋局，也從來都沒有帶來任何的科學(xué)進展。

他同時舉了羅爾定理作例子，這個定理雖然在在微積分中具有一定的重要性，但是卻不能與萊昂哈德·歐拉與埃瓦里斯特·伽羅瓦等純數(shù)學(xué)家工作的優(yōu)雅和卓越相比。

正如他在他的書中寫道的：“就算在數(shù)學(xué)界，歷史也常常玩奇怪的把戲：羅爾在初等微積分中如此地經(jīng)常出現(xiàn)，就好像他是和牛頓齊名的一個數(shù)學(xué)家?！?/p>“年輕人的游戲”

另一個重要的主題是“數(shù)學(xué)是一個‘年輕人的游戲’”，即是說任何有著數(shù)學(xué)天賦的人應(yīng)當(dāng)趁他們還年輕的時候發(fā)展并利用這些天賦，不至于等到中年，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造力開始衰退的時候。

在本書一開始，哈代就寫到，“當(dāng)一個職業(yè)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)他自己在寫有關(guān)數(shù)學(xué)的東西的時候，他會很悲傷的。”（It is a melancholy experience for a professional mathematician to find himself writing about mathematics.）哈代繼續(xù)解釋道，數(shù)學(xué)家的作用應(yīng)該是去做一些事情，證明一些新的定理，為數(shù)學(xué)做些貢獻，而不是去談?wù)撍蛘咂渌臄?shù)學(xué)家已經(jīng)做過的事情。在年輕的時候，因為擁有豐富的靈感，數(shù)學(xué)家都忙于進行數(shù)學(xué)研究。而當(dāng)靈感逐漸衰竭之時，數(shù)學(xué)家才會有時間寫一些關(guān)于數(shù)學(xué)的文章而非論文。

哈代還舉到艾薩克·牛頓的例子：牛頓在24歲時，即產(chǎn)生了流數(shù)與萬有引力的想法。而當(dāng)他50歲時，對數(shù)學(xué)有了更為深刻的理解，可能是因為一些能力已經(jīng)消退，卻放棄了數(shù)學(xué)。

這一觀點反映出了哈代對他數(shù)學(xué)能力衰退與日俱增的沮喪。對于哈代，真正的數(shù)學(xué)本質(zhì)上應(yīng)是一種創(chuàng)造的能力，而并非像哈代本人寫這本書一樣，對數(shù)學(xué)的闡述或是解釋。

正專心致志的寫《辯白》之時，哈代承認(rèn)他作為一個有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家的時期已經(jīng)結(jié)束了。正如在本書1967年版的的前言中，斯諾將這本“辯白”稱為“對以前屬于他的創(chuàng)造力再也不會回來所作的深切的痛惜”。

批評

哈代的思想曾被一戰(zhàn)和二戰(zhàn)間劍橋大學(xué)和牛津大學(xué)的學(xué)術(shù)文化深深地影響。他的猜測——只有每個領(lǐng)域的極好的原創(chuàng)性工作才會有深遠(yuǎn)持久的價值——在現(xiàn)在聽起來是帶有精英主義思想的。

哈代在劍橋大學(xué)時，曾經(jīng)加入一個精英協(xié)會——劍橋使徒會，這也在一定程度上解釋了哈代精英主義思想的來源。

在本書末尾的注解中，哈代教授提起他和洛馬斯先生經(jīng)過特拉法加廣場的納爾遜紀(jì)念碑的經(jīng)歷。哈代自己認(rèn)為，如果自己能夠在倫敦有一個紀(jì)念碑，會希望這個紀(jì)念碑如同納爾遜紀(jì)念碑一樣高聳如云，以至于在低端根本看不見；而他猜測，斯諾博士則會希望紀(jì)念碑的細(xì)節(jié)都能夠被辨認(rèn)。這一段話從某種角度上說，正是哈代精英主義的寫照。

現(xiàn)在回顧起來，哈代的一些例子已經(jīng)過時。譬如說，他寫道，“到目前為止，還尚未有人能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)論和相對論用于任何與戰(zhàn)爭有關(guān)的目的，而且在今后許多年，也不太可能會有人能夠做到這一點?！?/p>

而在這之后，相對論用以解釋核武器為何威力如此巨大，與此同時，數(shù)論在公鑰加密中起到顯著的作用。但是不管怎樣，哈代的更加明顯的關(guān)于美麗的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（關(guān)于質(zhì)數(shù)無窮多以及2的平方根的無理性的證明）是無用的的例子仍然是成立的。