在數(shù)學(xué)里，區(qū)間通常是指這樣的一類(lèi)實(shí)數(shù)集合：如果x和y是兩個(gè)在集合里的數(shù)，那么，任何x和y之間的數(shù)也屬于該集合。例如，由符合0≤x≤1的實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合，便是一個(gè)區(qū)間，它包含了0、1，還有0和1之間的全體實(shí)數(shù)。其他例子包括：實(shí)數(shù)集，負(fù)實(shí)數(shù)組成的集合等。

區(qū)間在積分理論中起著重要作用，因?yàn)樗鼈冏鳛樽?quot;簡(jiǎn)單"的實(shí)數(shù)集合，可以輕易地給它們定義"長(zhǎng)度"、或者說(shuō)"測(cè)度"。然后，"測(cè)度"的概念可以拓，引申出博雷爾測(cè)度，以及勒貝格測(cè)度。

區(qū)間也是區(qū)間算術(shù)的核心概念。區(qū)間算術(shù)是一種數(shù)值分析方法，用于計(jì)算舍去誤差。

區(qū)間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S，使得若x和y均屬于S，且x<z<y，則z亦屬于S。例如整數(shù)區(qū)間[-1...2]即是指{-1,0,1,2}這個(gè)集合。

中文名

區(qū)間

外文名

interval

標(biāo)準(zhǔn)

新制訂的ISO 80000-2

應(yīng)用范圍

數(shù)學(xué)領(lǐng)域

記號(hào)

()和[]

類(lèi)型

數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)

地位

區(qū)間算術(shù)的核心概念

記號(hào)

通用的區(qū)間記號(hào)中，圓括號(hào)表示“排除”，方括號(hào)表示“包括”。例如，區(qū)間(10,20)表示所有在10和20之間的實(shí)數(shù)，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之間的實(shí)數(shù)，以及10和20。而當(dāng)我們?nèi)我庵敢粋€(gè)區(qū)間時(shí)，一般以大寫(xiě)字母I記之。

有的國(guó)家是用逗號(hào)來(lái)代表小數(shù)點(diǎn)，為免產(chǎn)生混淆，分隔兩數(shù)的逗號(hào)要用分號(hào)來(lái)代替。例如

[1,2.3]

就要寫(xiě)成

[1;2,3]

。否則，若只把小數(shù)點(diǎn)寫(xiě)成逗號(hào)，之前的例子就會(huì)變成

[1,2,3]

了。這時(shí)就不能知道究竟是1.2與3之間，還是1與2.3之間的區(qū)間了。

在法國(guó)及其他一些歐洲國(guó)家，是用]與[代替（與）比如

寫(xiě)成

寫(xiě)成]1,2[，

這種寫(xiě)法原先也包括在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織編制的ISO31-11內(nèi)。ISO31-11是一套有關(guān)物理科學(xué)及科技中所使用的數(shù)學(xué)符號(hào)的規(guī)范。在2009年，已由新制訂的ISO80000-2所取替，不再包括]與[的用法。

定義

用集合的語(yǔ)言，我們定義各種區(qū)間為：

注意

均是代表空集，單元素集合不能用區(qū)間表示，如集合{0}不能表示為或[0,0]。而當(dāng)a>b時(shí)，上述的四種記號(hào)一般都視為代表空集。區(qū)間不為空集時(shí)，a,b稱為區(qū)間的端點(diǎn)。一般定義b-a為區(qū)間的長(zhǎng)度。區(qū)間的中點(diǎn)則為

區(qū)間[a,b]有時(shí)也稱為線段。（不為空集或單元素集的話）

除了表示區(qū)間，圓括號(hào)和方括號(hào)也有其他用法，視乎語(yǔ)境而定。譬如

也可表示集合論中的有序?qū)ω冀馕鰩缀沃悬c(diǎn)的坐標(biāo)，線性代數(shù)中向量的坐標(biāo)，有時(shí)也用來(lái)表示一個(gè)復(fù)數(shù)，有時(shí)在數(shù)論中，用

表示整數(shù)

的最大公約數(shù)。

也偶爾用作表示有序?qū)?，尤其在?jì)算機(jī)科學(xué)的范疇里。同樣在數(shù)論里，用

表示整數(shù)

的最小公倍數(shù)。

有部分作者以

來(lái)表示區(qū)間

在實(shí)數(shù)集里的補(bǔ)集，即是包含了小于或等于a的實(shí)數(shù)，以及大于或等于b的實(shí)數(shù)。

無(wú)限區(qū)間

我們可以用

符號(hào)來(lái)表示區(qū)間在某方向上無(wú)界。具體定義如下：

特別地，

表示正實(shí)數(shù)集，亦記作

。

則表示了非負(fù)實(shí)數(shù)集。

如果區(qū)間是單側(cè)無(wú)界，也稱為射線或半直線。如果它包含有限端點(diǎn)，則稱其為閉射線或閉半直線。如果不包含有限端點(diǎn)，則稱其為開(kāi)射線或開(kāi)半直線。

一般使用的便是以上五種記號(hào)，而

等的寫(xiě)法則相當(dāng)少見(jiàn)。有的作者假定區(qū)間為實(shí)數(shù)集的子集，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，這些寫(xiě)法要麼是無(wú)意義，要麼就是跟用圓括號(hào)的意思沒(méi)兩樣。在後者的情況下，我們可以寫(xiě)作

。于是實(shí)數(shù)集可被視為又開(kāi)又閉的區(qū)間。

如果我們考慮擴(kuò)展的實(shí)數(shù)軸，那么這四種寫(xiě)法是有數(shù)的區(qū)間。

一般而言，對(duì)于整數(shù)a,b，具體寫(xiě)作：

。

除了[a..b]，也有{a..b}和a..b的寫(xiě)法，意思一樣。

[a..b]的記號(hào)被用于一些程式語(yǔ)言，例如Pascal和Haskell。

如果一個(gè)整數(shù)區(qū)間是有界的話，那麼它必然包含最小數(shù)a和最大數(shù)b。因此，如果想定義去掉最小數(shù)或最大數(shù)的區(qū)間，只需用[a..b-1],[a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無(wú)需像實(shí)數(shù)區(qū)間般引進(jìn)[a..b)或(a..b)的記號(hào)。

分類(lèi)

實(shí)數(shù)區(qū)間一共可分成11種，如下所列。其中a,b是實(shí)數(shù)，且a

1.

空集

：

2.

退化區(qū)間

(degenrateinterval)：

有界區(qū)間

3.閉區(qū)間：

4.開(kāi)區(qū)間：

5.左閉右開(kāi)區(qū)間：

6.左開(kāi)右閉區(qū)間：

單側(cè)無(wú)界

有下界但無(wú)上界：

7.左閉：

8.左開(kāi)：

有上界但無(wú)下界：

9.右閉：

10.右開(kāi)：

11.

雙側(cè)無(wú)界

：

#1、#4、#8、#10、和#11可稱為“開(kāi)區(qū)間”（標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)湎率情_(kāi)集），#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱為“閉區(qū)間”（標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)湎率情]集）。#3和#4有時(shí)稱為“半開(kāi)區(qū)間”或“半閉區(qū)間”。#1和#11同時(shí)為“開(kāi)”和“閉”，并非“半開(kāi)”、“半閉”。

表示法

區(qū)間表示法是指在實(shí)數(shù)線上，以視覺(jué)化的方式表示出一個(gè)區(qū)間的范圍。亦指以區(qū)間形式給出（含有一個(gè)未知數(shù)x的）不等式的解集。

性質(zhì)

上述的各種區(qū)間正是實(shí)數(shù)軸上的全體連通子集。由此可推得，一個(gè)區(qū)間在連續(xù)函數(shù)下的像也是一個(gè)區(qū)間，這是介值定理的另外一個(gè)表述。

區(qū)間也恰好涵蓋了實(shí)數(shù)集的所有凸的子集。另，設(shè)X是

的一個(gè)子集，如果Y是包含X的最小閉區(qū)間（即如果Z是另一個(gè)包含X的閉區(qū)間，Y也包含于Z），便是Y的凸包。實(shí)際上，

任意一組區(qū)間的交集仍然是區(qū)間。兩個(gè)區(qū)間的并集是區(qū)間，當(dāng)且僅當(dāng)它們的交集非空，又或者一個(gè)區(qū)間所不包含的端點(diǎn)，恰好是另一個(gè)區(qū)間包含的端點(diǎn)。例如：

如果把

當(dāng)作度量空間，它的開(kāi)球便是區(qū)間

（r為正數(shù)），閉球便是區(qū)間

定義推廣

多維區(qū)間

一個(gè)n維區(qū)間可定義為

的子集，其為n個(gè)區(qū)間的笛卡爾積，即

時(shí)，一般來(lái)說(shuō)是定義了一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)和闊分別平行于兩條坐標(biāo)軸。

時(shí)，一般的是定義了一個(gè)長(zhǎng)方體，它的各邊同樣是平行于坐標(biāo)軸。

復(fù)數(shù)區(qū)間

復(fù)數(shù)的區(qū)間可定義成復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，兩種合理的選擇是長(zhǎng)方形或圓盤(pán)。

算法

區(qū)間算術(shù)又稱區(qū)間數(shù)學(xué)、區(qū)間分析、區(qū)間計(jì)算，在1950、60年代引進(jìn)以作數(shù)值分析上計(jì)算舍去誤差的工具。

區(qū)間算術(shù)的基本運(yùn)算是，對(duì)于實(shí)數(shù)線上的子集

及

：

被一個(gè)包含零的區(qū)間除，在基礎(chǔ)區(qū)間算術(shù)上無(wú)定義。

區(qū)間算術(shù)的加法和乘法符合交換律、結(jié)合律和子分配律：集

是

的子集。