微分中值定理（拉格朗日、泰勒提出的定理）

羅爾定理

內(nèi)容：

如果函數(shù)f(x)滿足：

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線?。ǚ匠虨椋┦且粭l連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等。而定理結(jié)論表明：

弧上至少有一點(diǎn)，曲線在該點(diǎn)切線是水平的。

拉格朗日定理

內(nèi)容：

如果函數(shù) f(x) 滿足：

1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

那么：在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

拉格朗日中值定理的幾何意義是：曲線上必然存在至少一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線的斜率和連接曲線（a，b）的割線的斜率相同；或者說，曲線上必然存在至少一點(diǎn)可以做割線（a，b）的平行線

柯西定理

內(nèi)容：

如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)對任一x∈(a,b)，F(xiàn)'(x)≠0

那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

成立

[中值定理]分為：微分中值定理和積分中值定理：

以上三個(gè)為微分中值定理定積分第一中值定理為：

f(x)在a到b上的定積分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得該式成立）

注：積分中值定理可以根據(jù)介值定理推出所以同樣ξ∈[a,b]都為閉區(qū)間。

泰勒公式

內(nèi)容：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于（x-x.)多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間，該余項(xiàng)稱為拉格朗日型的余項(xiàng)。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導(dǎo)數(shù)，不是f(n)與x.的相乘。）

推論：麥克勞林公式

內(nèi)容：

若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于x多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),這里0<θ<1.

達(dá)布定理

內(nèi)容：

若函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.

推廣：若f(x),g(x)均在[a,b]上可導(dǎo)，并且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。

洛必達(dá)法則

內(nèi)容：

設(shè)(1)當(dāng)x→a時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；

(3)當(dāng)x→a時(shí)lim f'(x)/F'(x)存在(或?yàn)闊o窮大)，那么

x→a時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

又設(shè)

(1)當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；

(2)當(dāng)|x|>N時(shí)f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；

(3)當(dāng)x→∞時(shí)lim f'(x)/F'(x)存在(或?yàn)闊o窮大)，那么

x→∞時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。