五次方程是未知項(xiàng)總次數(shù)最高為5的整式方程。一般的五次方程沒有統(tǒng)一的公式解存在。

中文名

五次方程

釋義

未知項(xiàng)總次數(shù)最高為5的整式方程

相關(guān)解釋

群論

特點(diǎn)

一般的五次方程沒有統(tǒng)一的根式解

概述

陶平生先生認(rèn)為:群論

是解決該問題的一種很好的方法。

其實(shí),在我們的人教B版高中數(shù)學(xué)課本《選修3-4對(duì)稱與群》里,已經(jīng)說明:

第一,1824年:挪威的一位年輕人阿貝爾證明了:五次代數(shù)方程通用的求根公式是不存在的;

第二,伽羅瓦證得了5次及其以上方程沒有統(tǒng)一的求根公式;

第三,伽羅瓦能給出恰好有H=S的方程,而在群論里面很容易證明當(dāng)n≥5時(shí),S不是一個(gè)可解群。

歷史

第一個(gè)版本

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系數(shù)的代數(shù)式(即只含有限項(xiàng)的加、減、乘、除和開方五種代數(shù)運(yùn)算的表達(dá)式)來表示,五次及五次以上方程到底是否也行,這個(gè)問題吸引了眾多的著名數(shù)學(xué)家,在300多年的時(shí)間里,人們的各種嘗試都失敗了。

后來在18世紀(jì)初,保羅·拉尼爾證明了五次方程沒有代數(shù)解。過了10年左右,阿貝爾同意相信他的理論并給出了證明。

到了18世紀(jì)下半葉,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日總結(jié)分析了別人失敗的教訓(xùn),也意識(shí)到這種用代數(shù)方法求解五次方程的公式可能不存在,設(shè)想了一種理論上的利用根式求解方程的步驟,但還是碰了壁。

利用一些超越函數(shù),如theta function或Dedekind eta function即可找到五次方程的公式解。另外,若我們只需要求得數(shù)值解,可以利用數(shù)值方法(如牛頓迭代法)得到相當(dāng)理想的解答。

拉格朗日的工作啟發(fā)了年輕的阿貝爾(挪威數(shù)學(xué)家),中學(xué)時(shí)期就自學(xué)了許多名家的數(shù)學(xué)著作,進(jìn)大學(xué)后,開始研究五次方程的代數(shù)解問題。1824年,他嚴(yán)格地證明了高于四次的一般代數(shù)方程不可能有一般形式的代數(shù)解,這時(shí)他才22歲,尚未大學(xué)畢業(yè),但沒有得到別人理解,將論文寄給高斯,也未引起注意,1826年才得以公開發(fā)表論文。阿貝爾只是證明了高于四次方程的一般代數(shù)方程不可能有一般形式的代數(shù)解,沒有指出哪些特殊的方程存在代數(shù)解。這個(gè)問題后來被法國年輕數(shù)學(xué)家伽羅瓦所解決,伽羅瓦創(chuàng)設(shè)的理論給出了可解性判別準(zhǔn)則,并因此而開辟了數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域——

群論

第二個(gè)版本

1770年:拉格朗日詳細(xì)考察了人們求解2、3、4次方程的方法,首次意識(shí)到5次及其以上方程求根公式可能不存在,雖然他未能證明自己的斷言,但是,他提出的根的置換理論揭示了問題的本質(zhì),也是這個(gè)問題最后解決所出現(xiàn)的曙光。

1801年:高斯證明分圓多項(xiàng)式

(p為素?cái)?shù))可以用根式求解,這使得人們意識(shí)到,至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

1824年:挪威的一位年輕人阿貝爾證明了:五次代數(shù)方程通用的求根公式是不存在的。當(dāng)然,結(jié)合高斯關(guān)于分圓多項(xiàng)式的結(jié)論,我們知道,接下來的問題是解決,如何判定具體的代數(shù)方程是否可根式解。這個(gè)問題阿貝爾并沒有回答。

1830年:法國數(shù)學(xué)天才伽羅瓦徹底解決了5次方程何時(shí)可以根式解的問題??墒撬慕Y(jié)果已知沒有能夠發(fā)表。

1846年:伽羅瓦死后14年,他的這一偉大成果發(fā)表,其中首次提出了群的概念,并最終利用群論解決了這個(gè)世界難題。

1870年:法國數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)(C.Jordan,1838~1922)根據(jù)伽羅瓦的思想撰寫了《論置換與代數(shù)方程》一書,人們才真正領(lǐng)略了伽羅瓦的偉大思想。

源引:《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修3-4對(duì)稱與群》,人教B版。

4.4群與代數(shù)方程根式可解性。