定義
定義一
由李群的李代數(shù)到李群的一種解析映射。若G為李群,e為單位元素,T(G)為G中點(diǎn)e的切空間,任取
,則惟一存在左不變向量場X,使得.任給左不變向量場X,構(gòu)作算子任意取定單位坐標(biāo)鄰域U,點(diǎn),記當(dāng)為U中點(diǎn)。于是,在U中有一條單參數(shù)解析曲線記.它可開拓到,使得且為G之一維連通李子群。反之,任意一維連通李子群惟一決定左不變向量場X,使得此李子群為exp(tX).于是,有映射,稱為指數(shù)映射,這里J為李群G的李代數(shù)。指數(shù)映射是建立李群和它的李代數(shù)間的關(guān)系的重要工具,在李群理論中占有重要的地位.且
為G之一維連通李子群。反之,任意一維連通李子群惟一決定左不變向量場X,使得此李子群為exp (tX ).于是,有映射,稱為指數(shù)映射,這里J為李群G的李代數(shù)。指數(shù)映射是建立李群和它的李代數(shù)間的關(guān)系的重要工具,在李群理論中占有重要的地位 ? .定義二
切平面到曲面的一種映射。設(shè)T是曲面S在P點(diǎn)的切平面,指數(shù)映射是從切平面T到曲面S上的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系,記成
,定義如下:設(shè)v是曲面S在P點(diǎn)的一個(gè)切向量,過P作S上切于v的測地線,在此測地線上取一點(diǎn)M使得從P到M的弧長正好等于v的長度|v|,則定義? .引理1 對于曲面M上的每點(diǎn)p0,存在包含p0的一個(gè)坐標(biāo)鄰域U及常數(shù),使得對于每點(diǎn)和p點(diǎn)切空間T(M)中每個(gè)長度小于ε的切向量v,都有唯一的一條滿足初始條件的測地線:設(shè),若存在測地線滿足初始條件那么點(diǎn)
叫做在q點(diǎn)切向量v的指數(shù)映像,用表示γ(1),而映射稱為在q點(diǎn)的指數(shù)映射.于是,滿足初始條件的唯一測地線可表達(dá)為根據(jù)引理1 當(dāng)||v|| 充分小時(shí),
是確定的.一般地說,對于長度較長的向量v,指數(shù)映像未必能確定.然而如果能確定,則總是唯一的.定義 若對于任何點(diǎn)
和任何向量,指數(shù)映像總是確定的,則曲面M稱為測地完備的.顯然,測地完備性等價(jià)于下述要求:對于每段測地線段
,總能夠把延拓成無限長的測地線:因此,我們也可把后者作為測地完備性的定義 ? .與李代數(shù)
研究李代數(shù)元素的另一種方法是把它看作群上的左不變向量場.迄今為止,我們只是討論單位元處的向量,對于向量場,需要涉及所有群元素的切線.將一個(gè)群元素在左側(cè)相乘。就定義了群流形的一個(gè)同構(gòu)
,其中,群在它的基礎(chǔ)流形上的這個(gè)作用誘導(dǎo)出在該流形向量場上的作用.左不變向量場關(guān)于這個(gè)作用是固定不變的.將任何左不變向量場限制到單位元上的切向量。即一個(gè)李代數(shù)元素.而給出一個(gè)單位元上的切向量。就能產(chǎn)生一個(gè)左不變向量場.我們需要做的就是左平移原始向量到流形上的每個(gè)點(diǎn).如果X是一個(gè)矩陣。描述單位元處的切向量。則在群的點(diǎn)g處的切向量定義為gX.因此,單位元的切向量和左不變向量場之間是一一對應(yīng)的.這些左不變向量場的積分曲線在后面起重要的作用.向量場的積分曲線是在每一點(diǎn)都與該場相切的曲線.對于左不變向量場。這個(gè)曲線滿足如下微分方程:
這個(gè)方程有解析解,通過單位元素的解是矩陣X的指數(shù)可以展開成冪級數(shù):對于矩陣指數(shù)有如下關(guān)系:當(dāng)且僅當(dāng).這表示只有當(dāng)指數(shù)是可交換時(shí),指數(shù)積運(yùn)算時(shí)指數(shù)才可以相加.當(dāng)然,元素
和是可交換的,這表示形如的群元素構(gòu)成子群:它們是群的一維或單參數(shù)子群.用這種方法。每個(gè)李代數(shù)元素都產(chǎn)生一個(gè)單參數(shù)子群.指數(shù)函數(shù)也可以被看作給出了從李代數(shù)到群的映射。這個(gè)映射通常既不是單射也不是滿射,但是在單位元附近它是同胚映射.即在李代數(shù)上存在0的鄰域同胚映射到群的單位元的鄰域.在這個(gè)鄰域存在一個(gè)逆映射。通常被稱作對數(shù),由眾所周知的Mercator級數(shù)定義。即
當(dāng)g遠(yuǎn)離單位元時(shí),級數(shù)不收斂.矩陣指數(shù)的行列式是矩陣跡的指數(shù):
矩陣的跡Tr()是它的對角線元素之和.如果矩陣X的特征值都不相同。那么這個(gè)關(guān)系能夠通過對角化矩陣簡單地證明.即使在一般情況下,這個(gè)關(guān)系也是正確的.由這個(gè)關(guān)系可以得到:矩陣指數(shù)的行列式為1當(dāng)且僅當(dāng)矩陣是跡為0的.這就是李代數(shù)so(n),su(n)和sl(n)由跡為0的矩陣構(gòu)成的原因.對于某些李代數(shù),我們能夠更詳細(xì)地確定它的指數(shù)映射.例如??紤]su(2),典型的李代數(shù)元素m用伴隨表示可以描述成如下形式的矩陣:
通過簡單的計(jì)算可以得到.如果要求。則得到.由此將看作是參數(shù)t2。將它們代入到指數(shù)定義得到這也可以用原始的李代數(shù)元素
M
寫作可以由M的行列式得到t.上述關(guān)系是線性的。這意味著對數(shù)也能夠簡單地求出.如果U是su(2)的元素。則
這里,t可以根據(jù)等式得到.如上所述,這個(gè)對數(shù)并不是在整個(gè)群上有定義,顯然上面得到的公式在弧度時(shí)無意義 ? .