反演變換（數(shù)學(xué)中的概念）

基本內(nèi)容

數(shù)學(xué)反演變換（invereive transformation)

·反演變換定義：設(shè)在平面上給定了半徑為r的圓O，若A′為過定點(diǎn)O的直線OA上一點(diǎn)，且有向線段OA與OA′滿足OA·OA′=k(k為非零常數(shù)），則這種變換叫做關(guān)于⊙O（r）的反演變換，簡(jiǎn)稱反演。稱A′為A關(guān)于⊙O（r）的反演點(diǎn)，同樣，A為A′關(guān)于⊙O（r）的反演點(diǎn)；圓心O稱為反演中心或反演極；圓半徑r稱為反演半徑；⊙O（r）稱為反演（基）圓。k稱為反演冪，1）當(dāng)k=r^2（r的平方）＞0時(shí)，有向線段OA與OA′同向，A與A′在反演極同側(cè)，這種反演變換稱為正冪反演，亦叫雙曲線式反演變換；2）當(dāng)k=-r^2＜0時(shí)，有向線段OA與OA′反向，A與A′在反演極異側(cè)，這種反演變換稱為負(fù)冪反演，亦叫橢圓式反演變換。在某一反演變換中相互對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圖形互為反演圖形或反象。

正冪反演的性質(zhì)：

1、反演中心不存在反演點(diǎn)。不共線的兩對(duì)反演點(diǎn)共圓，且此圓與反演基圓正交。與反演基圓正交的圓，其反象為原圓。

2、反演變換φ把通過反演中心O的任一條直線變成自身。即通過反演中心的任何直線都是該反演變換下的不變圖形。（直線→直線）

3、反演變換φ把任一條不通過反演中心O的直線變成一個(gè)通過反演中心O的一個(gè)圓，而且這個(gè)圓周在點(diǎn)O的切線平行于該直線。（直線→圓）

4、反演變換φ把任一個(gè)通過反演中心O的圓周變成一個(gè)不通過反演中心O的一條直線，而且這條直線平行于該圓的過點(diǎn)O的切線。（圓→直線）

注：性質(zhì)3和4互為逆命題。

5、反演變換φ把任一個(gè)不通過反演中心O的圓周變成不能過反演中心O的圓周。（圓→圓）

由于可以把直線看成圓周，上述性質(zhì)2—5可經(jīng)綜合為

定理一 反演變換把（廣義）圓周變成（廣義）圓周。這個(gè)定理常稱為反演變換的保圓性。

6、任何兩條直線在它們的交點(diǎn)A的夾角，等于它們的反演圖形在相應(yīng)點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。

7、兩個(gè)相交圓周在交點(diǎn)A的夾角等于它們的反演圖形在相應(yīng)點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。

8、一條直線和一個(gè)圓周在交點(diǎn)A的夾角等于它們的反演圖形在相應(yīng)點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。

上述性質(zhì)6—8可經(jīng)綜合為

定理二 兩相交（廣義）圓周在交點(diǎn)A的夾角，等于它們的反演象（廣義）圓周在相應(yīng)點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。定理二稱為反演變換的反向保角性。

因反演變換具有保圓性和反向保角性而成為證題和作圖中的重要工具。由定理一、二易得：

9、正交兩圓其反象仍正交。

9、相切兩圓的反象仍相切，若切點(diǎn)恰是反演中心，則其反象為兩平行線。

負(fù)冪變換可以轉(zhuǎn)化為一次正冪變換和一次關(guān)于反演極反射的積來代替。

·作已知點(diǎn)的反演點(diǎn)的方法：

給出反演極O和反演冪k＞0，作點(diǎn)A的反演點(diǎn)A′。

令k=r^2，作出反演基圓⊙O（r），

1）若點(diǎn)A在⊙O（r）外，則過點(diǎn)A作圓的切線(兩條),兩個(gè)切點(diǎn)相連與OA連線交點(diǎn)就是點(diǎn)A′。

2）若點(diǎn)A在⊙O（r）內(nèi)，則把上述過程逆過來：連結(jié)OA，過點(diǎn)A作直線垂直于OA，直線與⊙O（r）的交點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)就是點(diǎn)A′。

3）若點(diǎn)A在⊙O（r）上，反演點(diǎn)A′就是點(diǎn)A自身。