等邊梯形（等邊梯形）

正文

這就是等邊梯形

性質(zhì)

1．等腰梯形的兩條腰相等。 　2．等腰梯形在同一底上的兩個(gè)底角相等。 　3．等腰梯形的兩條對角線相等。 　4．等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是上下底中點(diǎn)的連線所在直線。 　5．等腰梯形（這個(gè)非等腰梯形同理）的中位線（兩腰中點(diǎn)相連的線叫做中位線）等于上下底和的二分之一。 　6．直角梯形有兩個(gè)角是直角。 　7．對角線互相垂直的梯形面積可用兩條對角線積的一半計(jì)算。 　8.對角線互相垂直平分的梯形是等腰梯形 　注意：在有些情況下，梯形的上下底以長短區(qū)分，而不是按位置確定的，把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。

判定

1．一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形（一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形） 　2．兩腰相等的梯形是等腰梯形 　3．同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 　4．有一個(gè)內(nèi)角是直角的梯形是直角梯形 　5．對角線相等的梯形是等腰梯形． 　6．梯形的中位線等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。

周長與面積

梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2 用字母表示：S=（a+b）×h÷2 　變形1：h=2s÷（a+b）變形2：a=2s÷h-b 　變形3：b=2s÷h-a 　另一計(jì)算公式：中位線×高用字母表示：l·h對角線互相垂直的梯形：對角線×對角線÷2

梯形的周長公式：上底+下底+腰+腰 　用字母表示：a+b+c+d 　等腰梯形的周長公式：上底+下底+2腰 　用字母表示：a+b+2c

常用輔助線

1．作高（無數(shù)條，根據(jù)實(shí)際題目確定）

2．平移一腰 　3．平移對角線 　4．延長兩腰交于一點(diǎn) 　5．取一腰中點(diǎn)，另一腰兩端點(diǎn)連接并延長。 　6． 取兩底中點(diǎn)，過一底中點(diǎn)做兩腰的平行線。

典型例題剖析

例1、如圖，△ABC中，AB=AC，BD、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線．求證：四邊形EBCD是等腰梯形。分析：欲證四邊形EBCD是等腰梯形，解題思路是證ED//BC，BE=CD，由已知條件易證△BCD≌△CBE得到EB=DC，從而AE=AD，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可證ED//BC。證明：∵AB=AC， 　∴∠ABC=∠ACB， 　∴∠DBC=∠ECB=1/2∠ABC，

∴△EBC≌△DCB（ASA）， 　∴BE=CD， 　∴AB－BE=AC－CD，即AE=AD． 　∴∠ABC=∠AED，∴ED//BC，又∵EB與DC交于點(diǎn)A，即EB與DC不平行， 　∴四邊形EBCD是梯形，又BE=DC， 　∴四邊形EBCD是等腰梯形． 　點(diǎn)評：本題的解題關(guān)鍵是證明ED//BC，EB=DC，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視證明EB與DC不平行． 　例2、如圖，已知四邊形ABCD中，AB=DC，AC=DB，求證：四邊形ABCD是等腰梯形。證明：過點(diǎn)A作AE∥DC交BC邊于點(diǎn)E． 　∵AB=CD，AC=DB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB 　又AE∥DC，∴∠AEB=∠DCB 　∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，∴． 　∴四邊形AECD是平行四邊形． ∴AD∥BC． 　又AB=DC，且AD≠BC， 　∴四邊形ABCD為等腰梯形． 　點(diǎn)評：判定一個(gè)任意四邊形為等腰梯形，如果不能直接運(yùn)用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通過作輔助線，將此四邊形分解為熟悉的多邊形，此例就是通過作平行線，將四邊形分解成為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等腰三角形． 　例3、如圖，P為等腰梯形ABCD的下底BC上一點(diǎn)，PM⊥AB，PN⊥CD，M，N為垂足，BE⊥CD，E為垂足．求證：BE=PM+PN． 　證明：過P點(diǎn)作PH⊥BE于點(diǎn)H． 　∵BE⊥CD，PN⊥CD， 　∴四邊形PHEN是矩形．

∴HE=PN，EN∥PH． 　∴∠BPH=∠C． 　∵四邊形ABCD為等腰梯形， 　∴∠ABC=∠C． 　∴∠MBP=∠HPB． 　又PM⊥AB，BP公共， 　∴Rt△MBP≌Rt△HPB． 　∴PM=BH． 　∴BE=BH+HE=PM+PN． 　點(diǎn)評：要證線段的和差問題，通?？梢钥紤]用“截長法”或“補(bǔ)短法”來完成，本例采用的是“截長法”． 　例4、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=AD+BC，M為DC的中點(diǎn)．求證：AM⊥BM。證明：延長AM交BC的延長線于點(diǎn)N．

∵M(jìn)為DC中點(diǎn)，AD∥BC， 　∴△ADM≌△NCM． 　∴AD=CN，AM=MN． 　∴AB=AD+BC=BN． 　由等腰三角形“三線合一”知，BM⊥AM． 　點(diǎn)評：根據(jù)證題的需要，集中梯形的兩底也是常用的添加輔助線的方法．本例也可以先延長BC至N，使BN=AB，再證A、M、N共線． 　例5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求該梯形上下底的和． 　解：過D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E． 　∵AD∥CE，

∴DE=AC=5cm，AD=CE． 　∵AC⊥BD， 　∴DE⊥BD． 　在Rt△BDE中， 　∴AD+BC=CE+BC=BE=13cm． 　點(diǎn)評：過頂點(diǎn)作一條對角線的平行線，把兩條對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系集中到一個(gè)三角形中，將求梯形上下底的長轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊的長 　例6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2．求梯形的高。解法1：如圖(甲)，過A作AE∥DB交CB的延長線于點(diǎn)E?！?　∵AC⊥BD，

∴AC⊥AE．　 　∵AD∥EB， 　∴AE=BD，EB=AD．　 　又∵四邊形ABCD是等腰梯形， 　∴AC=BD． 　∴AE=AC．　 　∴△AEC是等腰直角三角形．　 　又AF是斜邊上的高，故AF也為斜邊上的中線． 　∴AF=7cm 　解法2：設(shè)梯形ABCD的兩條對角線相交于O點(diǎn)，過O作OH⊥BC于點(diǎn)H，延長HO交AD于G點(diǎn)(如圖(乙))．　 　∵AD∥BC， 　∴HG⊥AD．　 　∵AB=DC，AC=DB，BC公共，　 　∴△ABC≌△DCB． 　∴∠2=∠1．　 　又∵AC⊥BD，∴△BOC是等腰直角三角形．　 　∴．同理．　 　∴．　以下解答過程與解法1相同． 　解法3：過D作DM⊥BC于點(diǎn)M(如圖(丙))．　 　∵梯形ABCD是等腰梯形， 　∴AC=DB，∠ABC=∠DCB．　 　又∵AF=DM， 　∴Rt△AFC≌Rt△DMB， 　∴∠DBC=∠ACB．　 　又∵AC⊥BD， 　∴∠DBM=∠ACF=45°．　 　∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形．AF=FC，DM=MB，　 　∴．　以下解答過程與解法1相同． 　點(diǎn)評：本題的三種解法都是利用等腰直角三角形的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來證明該梯形的高就等于該梯形的中位線的長．因此，在等腰梯形中，若兩條對角線垂直，則這個(gè)梯形的高就等于中位線的長，梯形的面積就等于高的平方． 　例7、如圖所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD上，且AE=GF=GC．　(1)求證四邊形AEFG是平行四邊形；　(2)當(dāng)∠FGC=2∠EFB時(shí)，求證四邊形AEFG是矩形． 　分析：本題考查有關(guān)三角形、四邊形的綜合證明．涉及到等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等．在解答過程中要注意證明格式、推理方式的規(guī)范化． 　證明：(1)∵在梯形ABCD中，AB=DC， 　∴∠B=∠C．　 　∵GF=GC，∴∠C=∠GFC， 　∴∠B=∠GFC　 　∴AB//GF，即AE//GF．　 　又∵AE=GF 　∴四邊形AEFG是平行四邊形．

(2)過點(diǎn)G作GH⊥FC，垂足為H．　∵GF=GC， 　∴∠FGH=1/2∠FGC．　 　∵∠FGC=2∠EFB　∴∠FGH=∠EFB．　 　∵∠FGH+∠GFH=90° 　∴∠EFB+∠GFH=90° 　∴∠EFG=90°　 　∵四邊形AEFG是平行四邊形， 　∴四邊形AEFG是矩形．

特別注意

梯形的底角可以指梯形中任意一個(gè)角。所以說“底角相等的梯形是等腰梯形”是不對的。