胡爾維茨定理是關于解析函數(shù)序列的各項與它們的極限函數(shù)在一條簡單閉曲線內(nèi)部零點個數(shù)之間關系的定理。

簡介

設D是一個區(qū)域,D內(nèi)的解析函數(shù)序列式f(z)在D內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z),f(z)不恒為0,并設Γ是D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線,其內(nèi)部也在D內(nèi),且Γ不經(jīng)過函數(shù)f(z)的零點,則存在一個依賴于曲線Γ的正整數(shù)N,使得當n>N時,函數(shù)式f(z)在Γ內(nèi)部的零點個數(shù)等于函數(shù)f(z)在Γ內(nèi)部的零點個數(shù)。

推論

由胡爾維茨定理可以推出:若解析函數(shù)序列式f(z)都在D內(nèi)單葉,則f(z)在D內(nèi)也單葉。

解析函數(shù)

解析函數(shù)是區(qū)域上處處可微分的復函數(shù)。17世紀,L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發(fā)現(xiàn)平面不可壓縮流體的無旋場的勢函數(shù)Φ(x,y)與流函數(shù)Ψ(x,y)有連續(xù)的偏導數(shù),且滿足微分方程組,并指出f(z)=Φ(x,y)+iΨ(x,y)是可微函數(shù),這一命題的逆命題也成立。

柯西把區(qū)域上處處可微的復函數(shù)稱為單演函數(shù),后人又把它們稱為全純函數(shù)、解析函數(shù)。B.黎曼從這一定義出發(fā)對復函數(shù)的微分作了深入的研究,后來,就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程,或柯西-黎曼條件。