百科首頁 > 正文

高斯定理（應用于數(shù)學等學科的理論）

次瀏覽 | 更新時間：2023-05-20

來源：網(wǎng)絡整理

精選百科

本文由作者推薦

高斯定理

應用于數(shù)學等學科的理論

對于一個矢量場V，其散度的體積分等于V在此體積表面上的法向分量的面積分，上述定理被成為高斯定理（英文：Gauss's law），又稱為散度定理（Divergence theorem）。

基本信息

中文名

高斯定理

英文名

Gauss's law，Divergence theorem

提出時間

1813年

相關人物

奧斯特洛格拉特斯基、高斯

高斯定理把矢量場通過曲面的流動(即通量)與曲面內(nèi)部的向量場的表現(xiàn)聯(lián)系了起來，將復雜的曲面積分計算轉(zhuǎn)化為較為簡單的三重積分運算，在電磁學等領域中也具有運用。

基本概念

若某封閉區(qū)域空間

的邊界

由光滑或分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在

上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則

式中

是邊界曲面

的外側(cè)，稱上式為高斯定理，也稱為高斯公式或散度定理。此定理揭示了空間區(qū)域

上的三重積分與沿

的邊界曲面

的面積分之間的關系。

高斯定理能夠?qū)⒂嬎銖碗s的曲面積分轉(zhuǎn)化為較為簡單的三重積分運算，運用高斯定理還能得出許多有用的推論。

證明

首先假設

是體單連通域，如右圖所示構建空間直角坐標系，則

其中

為有界封閉區(qū)域，函數(shù)

在定義域

上連續(xù)，分別記為

，則有

當

為更一般的區(qū)域時，可以利用平行于某一坐標平面的平面將該區(qū)域分割為若干體單連通域，在這些子區(qū)域中均滿足上述公式，累加仍可得到上述結(jié)果。

同理可證：

將上述三個等式相加，即得到高斯定理。

歷史

1826年，蘇聯(lián)數(shù)學家奧斯特洛格拉特斯基（Mikhail Ostrogradsky）首先撰文發(fā)表了散度定理。由于德國數(shù)學家約翰·卡爾·弗里德里?！?/span>高斯（Karl Friedrich Gauss）在1813年他的著作中已經(jīng)研究了這一定理，只是未及時發(fā)表，因此散度定理也稱為高斯定理。

其他形式

第一類曲面積分形式

由兩類曲面之間的聯(lián)系立即可以給出高斯公式的第一類曲面積分形式：

矢量形式

高斯定理也可以從場論的觀點進行闡釋。場論是運用數(shù)學理論研究某些物理量在空間中的分布狀態(tài)，如果該物理量為標量，如溫度等，則對應的場如溫度場等稱為標量場。如果該物理量為矢量，如速度等，則對應的場如速度場等稱為矢量場。在空間直角坐標系中，一個矢量場

可以表示為：

高斯定理的公式左端可以表示為：

則

稱為矢量場A沿閉合曲面

的外側(cè)

穿過的通量。高斯定理的公式左端表示從內(nèi)穿出的正通量與從外穿入的負通量的代數(shù)和，由于指定了

的外側(cè)方向，當

表示該矢量場為凈流出，當

表示該矢量場為凈流入。

對于上述的矢量場

，其散度可表示為：

與通量類似，散度也是矢量場的一個重要物理量，表示在場中的某一點處通量對體積的變化率。當散度不為0時，稱該區(qū)域內(nèi)是有源的，當散度恒為0時，則該區(qū)域是無源。

在引入通量和散度的定義后，高斯定理可以表示如下的矢量形式：

從場的觀點來看，高斯定理描述了矢量場在某封閉區(qū)域中的通量和散度之間的關系，即矢量場

穿出封閉曲面的通量等于

的散度在封閉曲面圍成的空間內(nèi)三重積分。

微分形式

若規(guī)定一個作用于

算子

如下：

由散度的定義式可得：

得到結(jié)果如下：

上式也稱為高斯定理的微分形式。

電磁場中的高斯定理

靜電場的高斯定理

靜電場中的高斯定理給出了靜電場中通過任一閉合曲面的電通量與該閉合曲面內(nèi)所包圍的電荷之間的量值關系，是靜電場的一條基本定理。具體來說，在真空中的靜電場中，任一閉合面

的電通量

等于該閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和的

分之一，而與閉合面外的電荷無關，公式表示如下：

靜電場的高斯定理同樣適用于恒定電場中。

磁場的高斯定理

在磁場中，對于任意一個閉合曲面，由于磁感線是閉合曲線，即磁感線進入和傳出閉合曲面的數(shù)量總是相等的，因此通過任何閉合曲面的總磁通量必為零，稱為磁場的高斯定理，也稱磁通連續(xù)定理，它表明磁場是無源場，用公式表示如下：

磁場的高斯定理也是麥克斯韋方程組的四個方程之一。

高斯定理相關的文章

華山（中國陜西的國家5A級風景名勝區(qū)、五岳之一）

華山古稱太華山，位于中國陜西省渭南市華陰市城南，為中華五岳之西岳。華山南依秦嶺，北臨渭水，雄踞關中平原東部，以“奇險天下第一山”聞名于世，也有”華山自古一條路“的說法，景區(qū)占地面積約148平方千米。

科威特（君主立憲國）

科威特國（阿拉伯語：???????????，英語：The State of Kuwait），簡稱科威特（阿拉伯語：???????），是一個位于西亞地區(qū)阿拉伯半島東北部、波斯灣西北部的君主立憲國。在南部與沙特阿拉伯、北部與伊拉克分別接壤。同伊朗隔海相望，該國首都科威特城與該國名稱同名。海岸線長290公

準噶爾盆地（中國第二大的內(nèi)陸盆地）

準噶爾盆地（英文Junggar Basin；“噶”為gá），位于中國新疆的北部，是中國第二大的內(nèi)陸盆地。準噶爾盆地位于阿爾泰山與天山之間，西側(cè)為準噶爾西部山地，東至北塔山麓。盆地呈不規(guī)則三角形，地勢向西傾斜，北部略高于南部，北部的烏倫古湖（布倫托海）湖面高程479.1米，中部的瑪納斯湖湖面270米，

亞歷山大大帝（馬其頓國王）

亞歷山大大帝本詞條是多義詞，共7個義項馬其頓國王西方四大軍事統(tǒng)帥之首亞歷山大大帝（希臘文：Αλ?ξανδρο?，英文：Alexander the Great；前356年－前323年6月13日），即亞歷山大三世，馬其頓王國（亞歷山大帝國）國王，生于古馬其頓王國首都佩拉，馬其頓國王腓力二世之子，世界古代史上著名的軍事家和政治家。是歐洲歷史上最偉大的四大軍事統(tǒng)帥之首。曾師從古希臘著名學者亞里士多德，16