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收斂級(jí)數(shù)
部分和序列極限存在的級(jí)數(shù)
收斂級(jí)數(shù)（convergent series）是柯西于1821年引進(jìn)的，它是指部分和序列的極限存在的級(jí)數(shù)。收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)主要有：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后，它的收斂性不變；兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減之后仍為收斂級(jí)數(shù)；在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性；原級(jí)數(shù)收斂，對(duì)此級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)依然收斂；級(jí)數(shù)收斂的必要條件為級(jí)數(shù)通項(xiàng)的極限為0。
基本信息
| 外文名 | Convergent series |
| 提出時(shí)間 | 1821年 |
| 必要條件 | 通項(xiàng)的極限為0 |
| 分類 | 收斂級(jí)數(shù)和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù) |
預(yù)備知識(shí)
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義
給定一個(gè)數(shù)列
，對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來的表達(dá)式“
”稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，或稱為無窮級(jí)數(shù)，也可以簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù)，其中
稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)。
上述數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常寫作：
，或者簡(jiǎn)單記作
。
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前 n項(xiàng)和記作
，且有
。
部分和數(shù)列
稱數(shù)列
，即數(shù)列
為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列。
定義
若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列收斂于S（即
），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，即為收斂級(jí)數(shù)，且稱S為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，記作
。
收斂級(jí)數(shù)分條件收斂級(jí)數(shù)和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)兩大類，其性質(zhì)與有限和（有限項(xiàng)相加）相比有本質(zhì)的差別，例如交換律和結(jié)合律對(duì)它不一定成立，收斂級(jí)數(shù)概念是柯西于1821年引進(jìn)的。
基本性質(zhì)
性質(zhì)1
設(shè) k 為常數(shù)，如果級(jí)數(shù)
收斂于S，則級(jí)數(shù)
也收斂，且收斂于
。
證明：設(shè)級(jí)數(shù) 和的部分和分別為
，
則有
，
于是
，這就表明級(jí)數(shù) 也收斂，且收斂于 。
注：由關(guān)系式
可知，如果數(shù)列沒有極限且
，那么
也沒有極限。由此我們得到結(jié)論：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后，它的收斂性不變。
性質(zhì)2
如果級(jí)數(shù) 、
分別收斂于
，則級(jí)數(shù)
也收斂，且收斂到
。
證明：設(shè)級(jí)數(shù) 與 的部分和分別為 ，
則級(jí)數(shù) 的部分和為
，
于是
，這就表明了級(jí)數(shù)收斂，且收斂于 。
注意：性質(zhì)2說明，兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減之后仍為收斂級(jí)數(shù)。
性質(zhì)3
在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性。
證明：我們只需證明“在級(jí)數(shù)的前面部分去掉、加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性”，因?yàn)槠渌樾危丛诩?jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)的情形）都可以看成在級(jí)數(shù)的前面部分先去掉有限項(xiàng)，然后再加上有限項(xiàng)的結(jié)果。
以去掉k項(xiàng)為例，設(shè)級(jí)數(shù)為
，
記原級(jí)數(shù)前 
項(xiàng)的和為
，前 k 項(xiàng)和為
，去掉前 k 項(xiàng)得到的新級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和為
，
則有
。
易得當(dāng)
時(shí)， 與 同時(shí)有極限，或者同時(shí)沒有極限，
即級(jí)數(shù)與
同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。
類似的，可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性。
性質(zhì)4
若級(jí)數(shù) 收斂，則對(duì)此級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)
證明：設(shè)級(jí)數(shù) 的前 n 項(xiàng)部分和，加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)的和為，則有：
...
可見，數(shù)列
是數(shù)列
的一個(gè)子數(shù)列。由數(shù)列 的收斂性以及收斂子列與其子列的關(guān)系可知：數(shù)列必定收斂，且有
。這說明了加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂，且其和不變。
注意：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)也發(fā)散。
性質(zhì)5
如果級(jí)數(shù)收斂，則必有
。
級(jí)數(shù)收斂性
等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）
等比級(jí)數(shù)：
（1）當(dāng)
時(shí)，
收斂，且收斂于
；
（2）當(dāng)時(shí)
， 發(fā)散。
p級(jí)數(shù)：
（1）當(dāng) 
時(shí)， 收斂；
（2）當(dāng) 
時(shí)， 發(fā)散。
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