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模形式論
自守形式理論的特例
模形式論是數(shù)學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（復）解析函數(shù)。因此，模形式論屬于數(shù)論的范疇。模形式也出現(xiàn)在其他領域，例如代數(shù)拓撲和弦理論。
基本信息
| 中文名 | 模形式論 |
| 外文名 | modular form |
| 應用學科 | 數(shù)學 |
| 性質(zhì) | 自守形式理論 |
| 屬性 | 公式 |
| 學科 | 數(shù)理科學 |
| 領域 | 數(shù)論 |
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基本介紹
模形式論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發(fā)展大致可分成三期：
3.1925至1960年：由赫克發(fā)端，發(fā)現(xiàn)了模形式與數(shù)論的聯(lián)系。
作為格的函數(shù)
2) 存在常數(shù)
（通常取正整數(shù)），使得對任何
，有
。常數(shù)k稱為此模形式之 權。
3) 對于最小非零元與原點距離大于一定值之格
，
有上界。
當
，條件二表明
僅決定于 在相似變換下的等價類。這是重要的特例，但是權為零的模形式必為常數(shù)函數(shù)。若去掉條件三，并容許函數(shù)有極點，則存在非常數(shù)的例子，稱作 模函數(shù)。
這個狀況可以與射影空間 
作類比：對于射影空間，我們欲尋找向量空間 
上對座標的多項式函數(shù)
，并滿足
；不幸的是，這種函數(shù)必為常數(shù)。一種辦法是容許有分母（即考慮有理函數(shù)），則滿足條件的是分子、分母為同次數(shù)齊次多項式的有理函數(shù)。另一種辦法則是修改條件 為
，則滿足此條件的函數(shù)為 次齊次多項式，對每個固定的，這些函數(shù)構(gòu)成有限維向量空間。借著考慮所有可能的，我們可以找出構(gòu)造 上的有理函數(shù)所需之分子與分母。
既然 次齊次多項式在 上并非真正的函數(shù)，該如何從幾何上詮釋？代數(shù)幾何給出了一個答案：它們是 上某個層 
的截面。模形式的情形也類似，但考慮的不是，而是某個模空間。
作為橢圓曲線?？臻g上的函數(shù)
每個格 
都決定一條復橢圓曲線
；兩個格給出的橢圓曲線同構(gòu)的充要條件是兩個格之間差一個非零復數(shù)的倍數(shù)。因此模函數(shù)可以看作是復橢圓曲線的?？臻g上的函數(shù)。例如橢圓曲線的j-不變量就是模函數(shù)。模形式可視作?？臻g上某些線叢的截面。
每個格在乘上某個非零復數(shù)倍數(shù)后皆可表成
。對一模形式，置
。模形式的第二個條件可改寫成函數(shù)方程：對所有 
且
（即模群
之定義），有
廣義定義
令 
為正整數(shù)，相應的模群 
定義為：
若對每個尖點都有
，則稱之為尖點形式。使得 
的最小
稱作 在該尖點的階。以上定義的模形式有時也稱為整模形式，以區(qū)分帶極點的一般情形（如j-不變量）。
另一種的推廣是考慮某類函數(shù)
，并將函 數(shù)方程改寫為
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作者
