百科首頁(yè) > 正文

模形式論（自守形式理論的特例）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

精選百科

本文由作者推薦

模形式論

自守形式理論的特例

模形式論是數(shù)學(xué)上一個(gè)滿(mǎn)足一些泛函方程與增長(zhǎng)條件、在上半平面上的（復(fù)）解析函數(shù)。因此，模形式論屬于數(shù)論的范疇。模形式也出現(xiàn)在其他領(lǐng)域，例如代數(shù)拓?fù)浜拖依碚摗?/span>

基本信息

中文名	模形式論
外文名	modular form
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué)
性質(zhì)	自守形式理論
屬性	公式
學(xué)科	數(shù)理科學(xué)
領(lǐng)域	數(shù)論

收起

基本介紹

模形式論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發(fā)展大致可分成三期：

1.19世紀(jì)初：探討與橢圓函數(shù)相關(guān)的方面。

2.19世紀(jì)末：此時(shí)單變數(shù)自守形式的概念誕生。此理論由菲利克斯·克萊因等人發(fā)展。

3.1925至1960年：由赫克發(fā)端，發(fā)現(xiàn)了模形式與數(shù)論的聯(lián)系。

作為格的函數(shù)

一個(gè)模形式可視為從所有格

（即：

中的離散加法子群，使得其商群緊致）的集合映至

的函數(shù)

，使之滿(mǎn)足下述條件：

1) 若考慮形如

之格，其中

為常數(shù)而

為變數(shù)，則

是

的全純函數(shù)。

2) 存在常數(shù)

（通常取正整數(shù)），使得對(duì)任何

，有

。常數(shù)k稱(chēng)為此模形式之權(quán)。

3) 對(duì)于最小非零元與原點(diǎn)距離大于一定值之格

，

有上界。

當(dāng)

，條件二表明

僅決定于

在相似變換下的等價(jià)類(lèi)。這是重要的特例，但是權(quán)為零的模形式必為常數(shù)函數(shù)。若去掉條件三，并容許函數(shù)有極點(diǎn)，則存在非常數(shù)的例子，稱(chēng)作模函數(shù)。

這個(gè)狀況可以與射影空間

作類(lèi)比：對(duì)于射影空間，我們欲尋找向量空間

上對(duì)座標(biāo)的多項(xiàng)式函數(shù)

，并滿(mǎn)足

；不幸的是，這種函數(shù)必為常數(shù)。一種辦法是容許有分母（即考慮有理函數(shù)），則滿(mǎn)足條件的是分子、分母為同次數(shù)齊次多項(xiàng)式的有理函數(shù)。另一種辦法則是修改條件

為

，則滿(mǎn)足此條件的函數(shù)為

次齊次多項(xiàng)式，對(duì)每個(gè)固定的，這些函數(shù)構(gòu)成有限維向量空間。借著考慮所有可能的

，我們可以找出構(gòu)造

上的有理函數(shù)所需之分子與分母。

既然

次齊次多項(xiàng)式在

上并非真正的函數(shù)，該如何從幾何上詮釋?zhuān)看鷶?shù)幾何給出了一個(gè)答案：它們是

上某個(gè)層

的截面。模形式的情形也類(lèi)似，但考慮的不是

，而是某個(gè)?？臻g。

作為橢圓曲線(xiàn)?？臻g上的函數(shù)

每個(gè)格

都決定一條復(fù)橢圓曲線(xiàn)

；兩個(gè)格給出的橢圓曲線(xiàn)同構(gòu)的充要條件是兩個(gè)格之間差一個(gè)非零復(fù)數(shù)的倍數(shù)。因此模函數(shù)可以看作是復(fù)橢圓曲線(xiàn)的模空間上的函數(shù)。例如橢圓曲線(xiàn)的j-不變量就是模函數(shù)。模形式可視作?？臻g上某些線(xiàn)叢的截面。

每個(gè)格在乘上某個(gè)非零復(fù)數(shù)倍數(shù)后皆可表成

。對(duì)一模形式

，置

。模形式的第二個(gè)條件可改寫(xiě)成函數(shù)方程：對(duì)所有

且

（即模群

之定義），有

例如，取

：

如果上述方程僅對(duì)

內(nèi)的某個(gè)有限指數(shù)子群

成立，則稱(chēng)

為對(duì)

的模形式。最常見(jiàn)的例子是同余子群

，以下將詳述。

廣義定義

令

為正整數(shù)，相應(yīng)的模群

定義為：

令

為正整數(shù)，權(quán)為

的

級(jí)（或級(jí)群為

）模形式定義為一個(gè)上半平面上的全純函數(shù)

，對(duì)任何

及任何屬于上半平面的，有

而且

在尖點(diǎn)全純。所謂尖點(diǎn)，是

在

作用下的軌道。例如當(dāng)

時(shí)，

代表了唯一的尖點(diǎn)。模形式在尖點(diǎn)

全純，意謂

時(shí)有界。當(dāng)此尖點(diǎn)為

時(shí)，這等價(jià)于

有傅立葉展開(kāi)式

其中

。對(duì)于其它尖點(diǎn)，同樣可藉座標(biāo)變換得到傅立葉展開(kāi)。

若對(duì)每個(gè)尖點(diǎn)都有

，則稱(chēng)之為尖點(diǎn)形式。使得

的最小

稱(chēng)作

在該尖點(diǎn)的階。以上定義的模形式有時(shí)也稱(chēng)為整模形式，以區(qū)分帶極點(diǎn)的一般情形（如j-不變量）。

另一種的推廣是考慮某類(lèi)函數(shù)

，并將函數(shù)

方程改寫(xiě)為

上式所取的

稱(chēng)為自守因子。若另取適當(dāng)?shù)?/span>

，則在此框架下亦可探討戴德金η函數(shù)，這是權(quán)等于

的模形式。例如：一個(gè)權(quán)等于

、

級(jí)、 nebentypus為

（

是模

的一個(gè)狄利克雷特征）是定義于上半平面，并具下述性質(zhì)的全純函數(shù)：對(duì)任意

及屬于上半平面的

，有函數(shù)方程

此外，

必須在尖點(diǎn)全純。

模函數(shù)推廣

模函數(shù)的概念還能做一些推廣。

例如，可以去掉全純條件：馬斯形式是上半平面的拉普拉斯算子的特征函數(shù)，但并非全純函數(shù)。

此外，可以考慮

以外的群。希爾伯特模形式是

個(gè)變?cè)暮瘮?shù)，每個(gè)變?cè)紝儆谏习肫矫妗Ｆ浜瘮?shù)方程則由分布于某個(gè)全實(shí)域的二階方陣來(lái)定義。若以較大的辛群取代

，便得到西格爾模形式。模形式與橢圓曲線(xiàn)相關(guān)，而西格爾模形式則涉及更廣義的阿貝爾簇。

自守形式的概念可用于一般的李群。

模形式論相關(guān)的文章

泥鰍（中國(guó)特種水產(chǎn)品養(yǎng)殖種類(lèi)之一）

泥鰍（Misgurnus anguillicaudatus），也稱(chēng)“鰍魚(yú)”，是泥鰍屬的一種魚(yú)類(lèi)。廣泛分布于日本、朝鮮、俄羅斯、印度、摩洛哥及中國(guó)等國(guó)家；在中國(guó)，尤其在長(zhǎng)江和珠江流域中下游分布較廣，群體數(shù)量較大。

穆罕默德·巴迪亞

穆罕默德·巴迪亞，穆斯林兄弟會(huì)最高領(lǐng)導(dǎo)人，最高決策機(jī)構(gòu)指導(dǎo)局主席，也被稱(chēng)作總導(dǎo)師，“穆?tīng)栁鞅澈蟮娜恕?，意指巴迪亞可以“操控”穆?tīng)栁?。穆?tīng)栁?013年7月初被軍方解除總統(tǒng)職務(wù)后，埃及多地爆發(fā)大規(guī)模游行和沖突，造成重大人員傷亡。埃及檢方曾于2013年7月10日向巴迪亞等人發(fā)出逮捕令。2013年8月20日

伊扎克·拉賓（前以色列總理）

伊扎克·拉賓（希伯來(lái)語(yǔ)：???? ?????，英語(yǔ)：Yitzhak Rabin，1922年3月1日—1995年11月4日）男，出生于耶路撒冷，以色列政治家、軍事家。諾貝爾和平獎(jiǎng)獲得者，以色列總理。

蘇逸平（《穿梭時(shí)空三千年》的作者）

蘇逸平《穿梭時(shí)空三千年》的作者蘇逸平是繼香港科幻小說(shuō)家衛(wèi)斯理之后，又一在港澳臺(tái)及東西亞風(fēng)靡至今的科幻小說(shuō)家。他是生長(zhǎng)于臺(tái)灣的美籍華人，在美國(guó)學(xué)的是機(jī)電專(zhuān)業(yè)，但極度熱愛(ài)星際間的幻想世界，堅(jiān)信在冷硬的科技中，存在著復(fù)雜、柔美的人性情懷，愛(ài)恨糾葛。由他創(chuàng)作的“時(shí)空傳奇”系列作品，有的被改編成漫畫(huà)書(shū)，有的已

赫勒萬(wàn)（赫勒萬(wàn)）

赫勒萬(wàn)，埃及城市。在尼羅河下游東岸，開(kāi)羅南 24公里。人口20.3萬(wàn)。