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柯西不等式
求解不等式的重要工具
提出者簡介
柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法國數(shù)學家，1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。
他在純數(shù)學和應用數(shù)學的功底是相當深厚的，很多數(shù)學的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數(shù)學寫作上，他被認為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以《分析教程》（1821年）和《關于定積分理論的報告》（1827年）最為著名。不過他并不是所有的創(chuàng)作都質(zhì)量很高，因此他還曾被人批評“高產(chǎn)而輕率”，這點倒是與數(shù)學王子（高斯）相反。據(jù)說，法國科學院《會刊》創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁?？挛鬏^長的論文因而只得投稿到其它地方。
定義定理
向量形式
三角形式
概率論形式
積分形式
一般形式
設V是一線性空間，在V上定義了一個二元實函數(shù)，稱為內(nèi)積，記做
，它具有以下性質(zhì)：
1、
2、
3、
4、
，當且僅當
時
并定義α的長度
，則柯西不等式表述為：
驗證推導
二維形式的證明
等號在且僅在
即時成立。
向量形式的證明
一般形式的證明
剩余幾種情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的證明方法來證。
定理推廣
復變函數(shù)中的柯西不等式
若函數(shù)
在區(qū)域D及其邊界上解析，
內(nèi)一點，以
為圓心做圓周
，只要
及其內(nèi)部G均被D包含，則有：
其中M是的最大值。
證明：有柯西積分公式可知
所以
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