雅可比行列式通常稱為雅可比式(Jacobian)它是以n個(gè)n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為元素的行列式。事實(shí)上，在函數(shù)都連續(xù)可微（即偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)）的前提之下，它就是函數(shù)組的微分形式下的系數(shù)矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。若因變量對(duì)自變量連續(xù)可微，而自變量對(duì)新變量連續(xù)可微,則因變量也對(duì)新變量連續(xù)可微。這可用行列式的乘法法則和偏導(dǎo)數(shù)的連鎖法則直接驗(yàn)證。也類似于導(dǎo)數(shù)的連鎖法則。偏導(dǎo)數(shù)的連鎖法則也有類似的公式；這常用于重積分的計(jì)算中。如果在一個(gè)連通區(qū)域內(nèi)雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負(fù)。如果雅可比行列式恒等于零，則函數(shù)組是函數(shù)相關(guān)的，其中至少有一個(gè)函數(shù)是其余函數(shù)的一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。

中文名

雅可比行列式

外文名

Jacobian

應(yīng)用學(xué)科

高等數(shù)學(xué)

提出者

雅可比

別名

雅可比式

驗(yàn)證方式

若因變量

對(duì)自變量

連續(xù)可微，而自變量

對(duì)新變量

連續(xù)可微,則因變量(

)也對(duì)新變量(

)連續(xù)可微，并且

這可用行列式的乘法法則和偏導(dǎo)數(shù)的連鎖法則直接驗(yàn)證。偏導(dǎo)數(shù)的連鎖法則也有類似的公式；例如，當(dāng)

對(duì)(

)連續(xù)可微，而(

)對(duì)(

)連續(xù)可微時(shí)，便有

如果(3)中的

能回到

，則

這時(shí)必須有

于是以此為系數(shù)行列式的聯(lián)立線性方程組(2)中能夠把(

)解出來。

由隱函數(shù)存在定理可知，在(

)?對(duì)連續(xù)可微的前提下,只須

便足以保證（

）對(duì)(

)連續(xù)可微。這樣,連續(xù)可微函數(shù)組便在雅可比行列式不等于零的條件之下,在每一對(duì)相應(yīng)點(diǎn)u與x的鄰近范圍內(nèi)建立起點(diǎn)與點(diǎn)之間的一個(gè)一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在

的情形，以

為鄰邊的矩形(

)對(duì)應(yīng)到(

)平面上的一個(gè)曲邊四邊形(

),其面積

關(guān)于

的線性主要部分，即面積微分是

這常用于重積分的計(jì)算中。

如果在一個(gè)連通區(qū)域內(nèi)雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負(fù)（其正負(fù)號(hào)標(biāo)志著u-坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)定向是否與

坐標(biāo)系的一致）。如果雅可比行列式恒等于零,則函數(shù)組(

)是函數(shù)相關(guān)的,其中至少有一個(gè)函數(shù)是其余函數(shù)的一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。