覆疊空間(covering space)亦稱覆蓋空間，同倫論中一個(gè)重要概念。覆蓋空間在同倫理論，諧波分析，黎曼幾何和差分拓?fù)渲衅鹬匾饔?。例如，在黎曼幾何中，分支是覆蓋地圖概念的概括。覆蓋空間也與同倫群體研究，特別是基礎(chǔ)群體的研究深深交織在一起。一個(gè)重要的應(yīng)用來自結(jié)果，如果X是一個(gè)“足夠好”的拓?fù)淇臻g，則X的連接覆蓋的所有同構(gòu)類的集合與X的基本組的子群的共軛類之間存在著雙重的差異。

同倫論

同倫論是拓?fù)鋵W(xué)的重要概念。

直觀地說，從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gy的連續(xù)映射

是同倫的，是指在y中可將f 連續(xù)形變成 g，設(shè)

都是連續(xù)映射，

，若存在連續(xù)映射：

，使得對所有

，

則稱f和g是同倫的映射，記為：

，稱H 為從f到g的一個(gè)同倫或倫移，這時(shí)的

，若對所有t，同倫f1都是X到Y(jié)的同胚，則稱f合痕于g。應(yīng)該指出，映射的同倫關(guān)系是從拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的所有連續(xù)映射所成集合

上的一個(gè) 等價(jià)關(guān)系，它將這些映射分成一些等價(jià)類，稱每個(gè)等價(jià)類為一個(gè)同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內(nèi)容之一。

詳細(xì)概念

覆疊空間亦稱覆蓋空間。同倫論中一個(gè)重要概念。設(shè)

是道路連通空間，X是連通且局部道路連通空間，

是連續(xù)滿映射，若對于X中每一點(diǎn)x都有一個(gè)道路連通開鄰域U，使得對于

的每個(gè)連通分支V，p在V上的限制

是同胚，則稱

為X的覆疊空間，稱p為覆疊映射，稱X為底空間，這樣的鄰域U稱為x的可允許的鄰域。例如，指數(shù)映射

，把

映為

，則

是

的覆疊空間。若對于

，?。?p>

則：

為同胚。

覆疊空間理論包括映射提升定理，覆疊空間的分類定理，以及萬有覆疊空間的存在性等內(nèi)容。例如道路提升定理：設(shè)

是X的覆疊空間，

為覆疊映射，若

v為X的以a為起點(diǎn)的道路，則

內(nèi)有惟一的以b點(diǎn)為起點(diǎn)的道路

，滿足

，

稱為道路v的提升。類似地，有閉路同倫提升定理：設(shè)

是X的覆疊空間，若

為連續(xù)映射，滿足條件：

則存在惟一的連續(xù)映射：

滿足條件：

稱為F的提升。根據(jù)上述提升定理可知：覆疊映射p的誘導(dǎo)同態(tài)

：

是單同態(tài)。

道路連通空間

道路連通空間一類拓?fù)淇臻g。若對于拓?fù)淇臻gX中的任意兩點(diǎn)都存在以這兩點(diǎn)分別為始點(diǎn)與終點(diǎn)的道路，則稱X為道路連通空間。若拓?fù)淇臻g的子集作為子空間是道路連通的，則稱它為道路連通子集。道路連通空間一定是連通空間，但是，其逆不成立。例如，X為

與

的并集且賦予通常拓?fù)?，則X是連通空間但不是道路連通空間。

映射提升定理

關(guān)于覆疊空間的一條定理。設(shè)

是X的覆疊空間，對于連續(xù)映射

，若存在連續(xù)映射

，滿足條件

，則稱

為f的提升。映射提升定理：若Y是連通且局部道路連通空間，

，

是X的覆疊空間，

則連續(xù)映射

存在提升

的充分必要條件為

，并且當(dāng)提升

存在時(shí)它是惟一的。這里f和p分別為連續(xù)映射f和覆疊映射p對應(yīng)的基本群之間的誘導(dǎo)同態(tài)。