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怎樣解題
2002年G 波利亞創(chuàng)作的圖書
內容簡介
“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。如果能在平時的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學數(shù)學是一種樂趣！”
第一，必須弄清問題
弄清問題
未知數(shù)是什么？
已知數(shù)據（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項等的統(tǒng)稱）是什么？
條件是什么？
滿足條件是否可能？
要確定未知數(shù)，條件是否充分？
或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
畫張圖。
引入適當?shù)姆枴?/span>
把條件的各個部分分開。能否把它們寫下來？
第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。
如果找不出直接的聯(lián)系，可能不得不考慮輔助問題。
應該最終得出一個求解的計劃。
擬定計劃
以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍有不同？
是否知道與此有關的問題？是否知道一個可能用得上的定理？
看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。
這里有一個與現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題，能應用它嗎?
能不能利用它？能利用它的結果嗎？為了能利用它，是否應該引入某些輔助元素？
能不能重新敘述這個問題？能不能用不同的方法重新敘述它？
回到定義去。
如果不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？能不能從已知數(shù)據導出某些有用的東西？能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據？如果需要的話，能不能改變未知數(shù)和數(shù)據，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據彼此更接近？
是否利用了所有的已知數(shù)據？是否利用了整個條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？
第三，實行你的計劃。
實現(xiàn)計劃
實現(xiàn)求解計劃，檢驗每一步驟。
能否清楚地看出這一步是正確的？能否證明這一步是正確的？
第四，驗算所得到的解。
回顧反思
能否檢驗這個論證？能否用別的方法導出這個結果？能否一下子看出它來？
能不能把這結果或方法用于其它的問題？
《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進行分解，對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。《怎樣解題》這本書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？看一看表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！耙郧耙娺^它嗎？是否見過相同的問題而形式稍有不同？是否知道與此有關的問題？是否知道一個可能用得上的定理？……”波利亞說在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了過去在研究數(shù)學時解決問題的過程，實際上是解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數(shù)學家在研究數(shù)學，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”?；剡^頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。
在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，可能又忽略許多解決問題的方法和細節(jié)。因此需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習慣。
作者簡介
G 波利亞 ( 男) （George Polya，1887—1985），著名美國數(shù)學家和數(shù)學教育家。生于匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學任數(shù)學助理教授、副教授和教授，1928年后任數(shù)學系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國國家科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數(shù)學研究涉及復變函數(shù)、概率論、數(shù)論、數(shù)學分析、組合數(shù)學等眾多領域。1937年提出的波利亞計數(shù)定理是組合數(shù)學的重要工具。長期從事數(shù)學教學，對數(shù)學思維的一般規(guī)律有深入的研究，在這方面的名著有《怎樣解題》、《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。
目錄
第一部分 在教室里
目的
1.幫助學生
2.問題，建議，思維活動
3.普遍性
4.常識
5.教師和學生，模仿和實踐
主要部分，主要問題
6.四個階段
7.理解題目
8.例子
9.擬訂方案
10.例子
11.執(zhí)行方案
12.例子
13.回顧
14.例子
15.不同的方法
16.教師提問的方法
17.好問題與壞問題
進一步的例子
18.一道作圖題
19.一道證明題
20.一道速率題
第二部分 怎樣解題
一段對話
第三部分 探索法小詞典
類比
輔助元素
輔助題目
出色的念頭
你能檢驗這個結果嗎？
你能以不同的方式推導這個結果嗎？
你能應用這個結果嗎？
執(zhí)行
條件
矛盾
推論
你能從已知數(shù)據中得出一些有用的東西嗎？
你能重新敘述這道題目嗎？
分解和重組
定義
笛卡兒
決心、希望、成功
診斷
你用到所有的已知數(shù)據了嗎？
你知道一道與它有關的題目嗎？
畫一張圖
檢驗你的猜想
圖形
普遍化
你以前見過它嗎？
這里有一道題目和你的題目有關
而且以前解過
探索法
探索式論證
如果你不能解所提的題目
歸納與數(shù)學歸納
創(chuàng)造者悖論
條件有可能滿足嗎？
引理
觀察未知量
現(xiàn)代探索法
符號
拘泥與變通
實際題目
求解題、證明題
進展與成績
謎語
歸謬法與間接證明
多余
常規(guī)題目
發(fā)現(xiàn)的規(guī)則
格式的規(guī)則
教學的規(guī)則
將條件的不同部分分開
建立方程
進展的標志，
特殊化
潛意識活動
對稱性
新舊術語
量綱檢驗
未來的數(shù)學家
聰明的解題者
聰明的讀者
傳統(tǒng)的數(shù)學教授
變化題目
未知量是什么？
為什么證明？
諺語的智慧
倒著干
第四部分 題目、提示、解答
題目
提示
解答
注釋
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這家伙太懶了，什么都沒寫！
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