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廣義黎曼猜想
1859年提出的數(shù)學猜想
廣義黎曼猜想是1859年由德國大數(shù)學家黎曼提出的幾個猜想之一，而其他猜想均已證明。這個猜想是指黎曼ζ函數(shù)：ζ(s)=∑1/n^s(n從1到無窮）的非平凡零點都在Re(s)=1/2的直線上．
基本信息
| 中文名 | 廣義黎曼猜想 |
| 提出者 | 黎曼 |
| 提出時間 | 1859年 |
| 應用學科 | 數(shù)學 |
簡介
這是1859年由德國大數(shù)學家黎曼提出的幾個猜想之一，而其他猜想均已證明。這個猜想是指黎曼ζ函數(shù)：
(n從1到無窮）的非平凡零點都在
的直線上．
分析
在數(shù)學中我們碰到過許多函數(shù)，最常見的是多項式和三角函數(shù)。多項式的零點也就是代數(shù)方程
的根。根據(jù)代數(shù)基本定理，n次代數(shù)方程有n個根，它們可以是實根也可以是復根。因此，多項式函數(shù)有兩種表示方法，即
但是，這樣的用處不大，黎曼把它開拓到整個復數(shù)平面，成為復變量s就包含非常多的信息。正如多項式的情形一樣，函數(shù)的信息大部分包含在其零點的信息當中，因此，的零點就成為大家關心的頭等大事。有兩類零點，一類是
時的實零點，稱為平凡零點；一類是復零點。黎曼猜想就是講，這些復零點的實部都是，也就是所有復零點都在 這條直線（后稱為臨界線）上。
這個看起來簡單的問題并不容易。從歷史上看，求多項式的的零點特別是求代數(shù)方程的復根都不是簡單的問題。一個特殊函數(shù)的零點也不太容易找到。在85年前，哈代首先證明這條臨界線上有無窮多個零點。10年前我們知道有
的復零點都在這條線上，而且這條線外至今也沒有發(fā)現(xiàn)復零點，因此，黎曼猜想是對是錯還在未定之中。
黎曼ζ 函數(shù)
黎曼在1858年寫的一篇只長8頁關于素數(shù)分布的論文，就在這論文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。這猜想提出已有一百多年了，許多有名的數(shù)學家曾嘗試去證明，就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峰一樣——因為到達它的頂峰非常困難，目前已有人登上這世界高峰，可是卻沒有人能證明這猜想！那么這個讓上帝如此吝嗇的黎曼猜想究竟是一個什么樣的猜想呢？
在回答這個問題之前我們先得介紹一個函數(shù)：
黎曼ζ 函數(shù)。這個函數(shù)雖然掛著黎曼的大名，其實并不是黎曼首先提出的。但黎曼雖然不是這一函數(shù)的提出者，他的工作卻大大加深了人們對這一函數(shù)的理解，為其在數(shù)學與物理上的廣泛應用奠定了基礎。后人為了紀念黎曼的卓越貢獻，就用他的名字命名了這一函數(shù)。
那么究竟什么是黎曼ζ 函數(shù)呢？黎曼ζ 函數(shù)
是級數(shù)表達式 (n 為正整數(shù))
在復平面上的解析延拓。之所以要對這一表達式進行解析延拓，是因為 - 如我們已經(jīng)注明的 - 這一表達式只適用于復平面上 s 的實部 
的區(qū)域 (否則級數(shù)不收斂)。黎曼找到了這一表達式的解析延拓 (當然黎曼沒有使用“解析延拓”這樣的現(xiàn)代復變函數(shù)論術語)。運用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ 函數(shù)可以表示為：
這里我們采用的是歷史文獻中的記號，式中的積分實際是一個環(huán)繞正實軸 (即從 
出發(fā)，沿實軸上方積分至原點附近，環(huán)繞原點積分至實軸下方，再沿實軸下方積分至
離實軸的距離及環(huán)繞原點的半徑均趨于 0) 進行的圍道積分；式中的 Γ 函數(shù) 
是階乘函數(shù)在復平面上的推廣，對于正整數(shù)
?？梢宰C明，這一積分表達式除了在
處有一個簡單極點外在整個復平面上解析。這就是黎曼ζ 函數(shù)的完整定義。運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ 函數(shù)滿足以下代數(shù)關系式：
黎曼猜想
黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于復平面上 Re(s)=1/2 的直線上。在黎曼猜想的研究中，數(shù)學家們把復平面上的直線稱為“critical line”。運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于critical line上。這就是黎曼猜想的內(nèi)容，它是黎曼在 1859 年提出的。從其表述上看，黎曼猜想似乎是一個純粹的復變函數(shù)命題，但我們很快將會看到，它其實卻是一曲有關素數(shù)分布的神秘樂章。
證明成果
哈地證明（哈代斗上帝）
英國自從出現(xiàn)牛頓以后，一向來數(shù)學工作者是注重應用數(shù)學，它的數(shù)學家不像歐陸的德國和法國在純粹數(shù)學上有大的貢獻和新的發(fā)現(xiàn)，至到19世紀末出了哈代之后，哈代以他在純數(shù)學的工作使英國聞名于世。
哈代先后在牛津和劍橋大學教書，他為了研究數(shù)學從來不想到成家，而是由妹妹照顧他。他個性是有些怪，在那宗教勢力濃厚的學府里敢公然說：“上帝是我的敵人?！彼麖牟惶みM教堂，也不參予有宗教色彩儀式的會議。
每次到丹麥就會見他的好朋友波爾（Harald Bohr），他們坐下來，先在一張紙上寫上先要解決和討論的一些議程，然后討論一個小時后才一起出去散步。每一次見面時哈地在議程的第一條往往寫上：“證明黎曼假設！”
可是這個提議卻一直沒法子解決，一直到夏假結束他必須回去英國教書才作罷。第二年的夏天他回來丹麥又像前一年那樣，兩人每天把解決黎曼假設擺在議程的最前面，但是每次都不能解決。
有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英國，那天浪濤洶涌天氣很惡劣，而船又很小，因此他在船開之前就寫了一張明信片寄給波爾，在上面簡單的寫下這幾個字：“我已經(jīng)證明了黎曼假設。哈代?！?/span>
他是否真的證明了，要把這個好消息告訴他的好友呢？原來這明信片是有用意的：萬一這船沉下去，哈地溺死了，世人就會認為哈地真的解決這個世界上的數(shù)學難題，而為這個解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不會讓哈代享有解決這個著名難題的聲譽，因此本來這船該沉下去，它也設法不讓它沉，于是哈地可以平安回到英國。這樣這個明信片就是他的救命護身符了。
你看了或許會笑，以為我們的哈代教授是這樣幼稚可笑的人物，是的，有一些數(shù)學家他們想法和做事的天真幼稚就像6歲的兒童?？墒撬麄冄芯康臇|西卻深入和奧妙，不是普通人所能了解的。哈代逝世距現(xiàn)在已四十多年，但是他遺留下來的工作，許多是那么的艱深和難于明白，普通大學數(shù)學系畢業(yè)生也不是很容易就能領會。
近年研究成果
荷蘭三位數(shù)學家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個齊打函數(shù)的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣布他們的結果，目前他們還繼續(xù)用電子計算機檢驗底下的一些零點。
1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關的數(shù)學問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。
1975年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌癥去世前證明了
。
1980年中國數(shù)學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了
。
意義
這個簡單的特殊函數(shù)在數(shù)學上有重大意義，正因為如此，黎曼猜想總是被當成數(shù)一數(shù)二的重要猜想。在這個猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素數(shù)定理就是在100年前由于黎曼猜想的一個重大突破而證明的。當時只是證明復零點都在臨界線附近，如果黎曼猜想被完全證明，整個解析數(shù)論將取得全面進展。
更重要的是，在代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何、動力系統(tǒng)理論等學科中都引入各種 函數(shù)和它們的推廣L函數(shù)，它們各有相應的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已經(jīng)得到證明，使得該分支獲得突破性的進展?？梢栽O想，黎曼猜想及其各種推廣是21世紀的中心的問題之一。
黎曼
黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）1826年9月17日生于德國漢若威的布雷斯塞論茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。黎曼是對現(xiàn)代數(shù)學影響最大的數(shù)學家之一，我們從他當時的數(shù)學水平來看，他作為偉大的分析學家，其成就可以分為八個領域來論述。前4個領域是關于復分析方面的，他第一個有意識的將實域過渡到復域，開創(chuàng)了復變函數(shù)域，代數(shù)函數(shù)論，常微分方程解析理論及解析數(shù)論諸方向；后4個領域主要涉及實分析，在積分理論，三角級理論，微分幾何學，數(shù)學物理方程等方面取得重大突破。重要的是一個多世紀之前的成就卻直接同現(xiàn)代數(shù)學中的拓撲方法，一般流形概念，聯(lián)系拓撲與分析的黎曼－洛赫定理，代數(shù)幾何學特別是阿貝爾簇以及參模等緊密相連，他的空間觀念及黎曼幾何更預示著廣義相對論，正是他促發(fā)了現(xiàn)代數(shù)學的革命性變革
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
作者
