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L-函數(shù)（復(fù)值函數(shù)）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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L-函數(shù)

復(fù)值函數(shù)

L-函數(shù)是有算術(shù)有意義和算術(shù)背景的L-函數(shù)。例如黎曼在研究高斯和勒讓德提出的素?cái)?shù)定理時(shí)，引出了和素?cái)?shù)分布有關(guān)的復(fù)變量的黎曼zeta-函數(shù)。

基本信息

中文名	L-函數(shù)
外文名	L-functions
用途	Dirichlet級(jí)數(shù)
編輯	黎曼猜想

定義

一般地，對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象

，我們可定義復(fù)數(shù)列

，形如

且具有Euler乘積的Dirichlet級(jí)數(shù)，我們稱其為關(guān)于

的

函數(shù)。

來源

一般地說，

-函數(shù)來源由兩類組成：算術(shù)L-函數(shù)和自守L-函數(shù)。這兩者又是密切聯(lián)系在一起的，根據(jù)羅伯特·朗蘭茲的猜想，籠統(tǒng)地說，一切有意義的L-函數(shù)都來自自守L-函數(shù)。

算術(shù)L-函數(shù)

簡單地說，

同樣地，狄利克雷在研究算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)分布時(shí)，引入了Dirichlet L-函數(shù)：

Dedekind zeta-函數(shù)：設(shè)

為一代數(shù)數(shù)域，

橢圓曲線的Haass-Weil L-函數(shù)：設(shè)

為一非奇異的橢圓曲線定義

為曲線在有限域

上的解，設(shè)

，則下面的級(jí)數(shù)稱為關(guān)于曲線的Haass-Weil L-函數(shù)

阿廷L-函數(shù)：設(shè)

是一個(gè)有限維的伽羅瓦表示，其中

為一代數(shù)數(shù)域，

自守L-函數(shù)

全純模形式的L-函數(shù)，Maass L-函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)L-函數(shù)等等。

研究內(nèi)容

根據(jù)羅伯特·朗蘭茲在國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的報(bào)告所指，研究一個(gè)L-函數(shù)主要有三部分內(nèi)容：

解析延拓

L-函數(shù)的解析延拓和函數(shù)方程這是最基本的一部分。對(duì)于一般的自守L-函數(shù)這是較容易得到的，但是對(duì)算術(shù)的L-函數(shù)這一部分并不是容易得到的。例如，對(duì)于Haass-Weil L-函數(shù)，這部分就是谷山-志村猜想，該猜想一部分就能推出費(fèi)爾馬大定理。關(guān)于阿廷L-函數(shù)的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數(shù)論中重要的未知問題。

對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象

的L-函數(shù)，我們定義其的gamma因子為

其中

為復(fù)參數(shù)。

定義下面關(guān)于

的完全

-函數(shù)

那么，一般地我們有函數(shù)方程

其中

為模為1的復(fù)數(shù)，為

關(guān)于

的對(duì)偶對(duì)象。

零點(diǎn)的分布

非零區(qū)域：如黎曼zeta函數(shù)的目前最好的非零區(qū)域?yàn)?/span>

黎曼猜想和廣義黎曼猜想問題：

在假設(shè)黎曼猜想下，零點(diǎn)虛部的分布問題與隨機(jī)矩陣的聯(lián)系等等。

特殊點(diǎn)的值

中心值，臨界點(diǎn)，整點(diǎn)的值，極點(diǎn)的留數(shù)等。這里面也有很多猜想，像BSD猜想，類數(shù)問題，Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想。其實(shí)往往我們重要的不僅是關(guān)心它具體有多大，而是關(guān)心的這個(gè)量里面隱含著什么樣的算術(shù)意義。像Dedekind zeta 函數(shù)在

處的留數(shù)，里面包含了一個(gè)數(shù)域的很多不變量：類數(shù)，判別式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函數(shù)在中心點(diǎn)的的階就是該橢圓曲線的秩！

研究意義

對(duì)于一個(gè)研究對(duì)象

如素?cái)?shù)，伽羅瓦擴(kuò)張，橢圓曲線，代數(shù)簇等等，我們可根據(jù)其性質(zhì)構(gòu)造出一個(gè)復(fù)變量的L-函數(shù)

。 -函數(shù)的解析性質(zhì)：零點(diǎn)和極點(diǎn)，函數(shù)方程，展開系數(shù)，特殊點(diǎn)的值等等，往往能夠充分反映

的算術(shù)，幾何，或代數(shù)性質(zhì)。

三個(gè)公開問題

關(guān)于L-函數(shù)的研究，有許多未解決的公開問題，在這些問題中，尤以下面三個(gè)著名。

廣義Riemann猜想

L-函數(shù)所有非平凡的零點(diǎn)均位于線上。

廣義Lindelof猜想

在(3.1)的函數(shù)方程中，有猜想：

其中

為任意小的正實(shí)數(shù)。

廣義Ramanujan猜想

在(3.1)的函數(shù)方程中，猜想對(duì)非分歧的有

和

。

參考資料

[1]

關(guān)于L-函數(shù)的四次均值公式-《科學(xué)通報(bào)》1989年09期 · 中國知網(wǎng)[引用日期2021-11-01]

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