戴維·希爾伯特（德國(guó)著名數(shù)學(xué)家）
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戴維·希爾伯特
德國(guó)著名數(shù)學(xué)家
近代形式公理學(xué)派的創(chuàng)始人
戴維·希爾伯特，又譯大衛(wèi)·希爾伯特，（DavidHilbert，1862-1943），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家。他于1900年8月8日在巴黎第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，提出了新世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，被認(rèn)為是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的至高點(diǎn)，對(duì)這些問(wèn)題的研究有力推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，在世界上產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。希爾伯特領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)派是19世紀(jì)末20世紀(jì)初數(shù)學(xué)界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數(shù)學(xué)界的無(wú)冕之王”，他是天才中的天才。
人物生平
希爾伯特出生于東普魯士哥尼斯堡（前蘇聯(lián)加里寧格勒）附近的韋勞，中學(xué)時(shí)代他就是一名勤奮好學(xué)的學(xué)生，對(duì)于科學(xué)特別是數(shù)學(xué)表現(xiàn)出濃厚的興趣，善于靈活和深刻地掌握以至能應(yīng)用老師講課的內(nèi)容。他與17歲便拿下數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的著名數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（愛(ài)因斯坦的老師）結(jié)為好友，同進(jìn)于哥尼斯堡大學(xué)，最終超越了他。
1880年，他不顧父親讓他學(xué)法律的意愿，進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)，并于1884年獲得博士學(xué)位，后留校取得講師資格和升任副教授。
1892年結(jié)婚。1893年他被任命為正教授。
1895年轉(zhuǎn)入哥廷根大學(xué)任教授，此后一直在數(shù)學(xué)之鄉(xiāng)哥廷根生活和工作。
希爾伯特于1900年8月8日在巴黎第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，提出了新世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，被認(rèn)為是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)。
他于1930年退休。在此期間，他成為柏林科學(xué)院通訊院士，并曾獲得施泰訥獎(jiǎng)、羅巴契夫斯基獎(jiǎng)和波約伊獎(jiǎng)。
1943年希爾伯特在孤獨(dú)中逝世。但由于大量數(shù)學(xué)家的到來(lái)，美國(guó)成為了當(dāng)時(shí)的世界數(shù)學(xué)中心。
主要成就
希爾伯特是對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)有深刻影響的數(shù)學(xué)家之一，他領(lǐng)導(dǎo)了著名的哥廷根學(xué)派，使哥廷根大學(xué)成為當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)研究的重要中心，并培養(yǎng)了一批對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的杰出數(shù)學(xué)家。
學(xué)術(shù)研究希爾伯特的數(shù)學(xué)工作可以劃分為幾個(gè)不同的時(shí)期，每個(gè)時(shí)期他幾乎都集中精力研究一類問(wèn)題。按時(shí)間順序，他的主要研究?jī)?nèi)容有：不變量理論、代數(shù)數(shù)域理論、幾何基礎(chǔ)、積分方程、物理學(xué)、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問(wèn)題、特征值問(wèn)題、“希爾伯特空間”等。在這些領(lǐng)域中，他都做出了重大的或開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。希爾伯特認(rèn)為，科學(xué)在每個(gè)時(shí)代都有它自己的問(wèn)題，而這些問(wèn)題的解決對(duì)于科學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義。他指出：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿著生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止。”在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名講演。他根據(jù)過(guò)去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這23個(gè)問(wèn)題統(tǒng)稱希爾伯特問(wèn)題，后來(lái)成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動(dòng)作用，希爾伯特問(wèn)題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發(fā)的相信每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以得到解決的信念，對(duì)數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。他說(shuō)：“在我們中間，常常聽(tīng)到這樣的呼聲：這里有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，去找出它的答案！你能通過(guò)純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒(méi)有不可知?！?a class="dict" href="/azsoft/qjg2751966.html">三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽(yù)市民稱號(hào)的講演中，針對(duì)一些人信奉的不可知論觀點(diǎn)，他再次滿懷信心地宣稱：“我們必須知道，我們必將知道。”希爾伯特去世后，這句話就刻在了他的墓碑上。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》（1899）是公理化思想的代表作，書中把歐幾里得幾何學(xué)加以整理，成為建立在一組簡(jiǎn)單公理基礎(chǔ)上的純粹演繹系統(tǒng)，并開(kāi)始探討公理之間的相互關(guān)系與研究整個(gè)演繹系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)。1904年，又著手研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)多年醞釀，于二十年代初，提出了如何論證數(shù)論、集合論或數(shù)學(xué)分析一致性的方案。他建議從若干形式公理出發(fā)將數(shù)學(xué)形式化為符號(hào)語(yǔ)言系統(tǒng)，并從不假定實(shí)無(wú)窮的有窮觀點(diǎn)出發(fā)，建立相應(yīng)的邏輯系統(tǒng)。然后再研究這個(gè)形式語(yǔ)言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)，從而創(chuàng)立了元數(shù)學(xué)和證明論。希爾伯特的目的是試圖對(duì)某一形式語(yǔ)言系統(tǒng)的無(wú)矛盾性給出絕對(duì)的證明，以便克服悖論引起的危機(jī)，一勞永逸地消除對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)推理方法可靠性的懷疑。1930年，年輕的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)枺↘.G?del，1906～1978）獲得了否定的結(jié)果，證明了希爾伯特方案是不可能實(shí)現(xiàn)的。但正如哥德?tīng)査f(shuō)，希爾伯特有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的方案“仍不失其重要性，并繼續(xù)引起人們的高度興趣。”學(xué)術(shù)論著《希爾伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《數(shù)論報(bào)告》）、《幾何基礎(chǔ)》、《線性積分方程一般理論基礎(chǔ)》等，與其他人合著的有《數(shù)學(xué)物理方法》、《理論邏輯基礎(chǔ)》、《直觀幾何學(xué)》、《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。
希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題分屬四大塊：第1到第6問(wèn)題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題；第7到第12問(wèn)題是數(shù)論問(wèn)題；第13到第18問(wèn)題屬于代數(shù)和幾何問(wèn)題；第19到第23問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)分析。（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題。1874年，康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國(guó)的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個(gè)意義下，問(wèn)題已獲解決。（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。歐氏幾何的無(wú)矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明，哥德?tīng)?931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個(gè)四面體有相等之體積是不可能的。問(wèn)題的意思是：存在兩個(gè)等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德思（M.Dehn）在1900年已解決。（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題。此問(wèn)題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對(duì)稱距離情況下，問(wèn)題獲解決。（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?。這一個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊平（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。（6）對(duì)數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕收摴砘?。后?lái)，在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得成功。但對(duì)物理學(xué)各個(gè)分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。（7）某些數(shù)的超越性的證明。需證：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么α^β一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)（例如，2^√2和exp(π)）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國(guó)的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無(wú)統(tǒng)一的方法。（8）素?cái)?shù)分布問(wèn)題，尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題。素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題目前也未獲最終解決，其最佳結(jié)果分別屬于中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)和張益唐。（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國(guó)的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。（10）能否通過(guò)有限步驟來(lái)判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。德國(guó)數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展。（12）類域的構(gòu)成問(wèn)題。即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問(wèn)題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c）。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來(lái)？此問(wèn)題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0，1〕上連續(xù)的實(shí)函數(shù)f(x1，x2，x3）可寫成形式∑hi（ξi(x1,x2）,x3）(i=1--9），這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)。柯?tīng)柲缏宸蜃C明f(x1，x2，x3）可寫成形式∑hi（ξi1(x1）+ξi2(x2）+ξi3(x3）)(i=1--7）這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)，ξij的選取可與f完全無(wú)關(guān)。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形，對(duì)解析函數(shù)情形則未解決。（14）某些完備函數(shù)系的有限的證明。即域K上的以x1,x2，…，xn為自變量的多項(xiàng)式fi（i=1，…，m），R為K〔X1，…，Xm]上的有理函數(shù)F（X1，…，Xm）構(gòu)成的環(huán)，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問(wèn)R是否可由有限個(gè)元素F1，…，F(xiàn)N的多項(xiàng)式生成？這個(gè)與代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。（15）建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注一舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。一個(gè)典型的問(wèn)題是：在三維空間中有四條直線，問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀的解法。希爾伯特要求將問(wèn)題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。（16）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊４藛?wèn)題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)N（n）和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。對(duì)n=2（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻(xiàn)爾得到N（2）≥1；1952年鮑廷得到N（2）≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，這個(gè)曾震動(dòng)一時(shí)的結(jié)果，由于其中的若干引理被否定而成疑問(wèn)。關(guān)于相對(duì)位置，中國(guó)數(shù)學(xué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過(guò)兩串。1957年，中國(guó)數(shù)學(xué)家秦元?jiǎng)?/a>和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個(gè)成串極限環(huán)的實(shí)例。1978年，中國(guó)的史松齡在秦元?jiǎng)?、華羅庚的指導(dǎo)下，與王明淑分別舉出至少有4個(gè)極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元?jiǎng)走M(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個(gè)極限環(huán)，并且是（1，3）結(jié)構(gòu)，從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，并為研究希爾伯特第（16）問(wèn)題提供了新的途徑。（17）半正定形式的平方和表示。實(shí)系數(shù)有理函數(shù)f(x1，…，xn）對(duì)任意數(shù)組（x1，…，xn）都恒大于或等于0，確定f是否都能寫成有理函數(shù)的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。（18）用全等多面體構(gòu)造空間。德國(guó)數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。（19）正則變分問(wèn)題的解是否總是解析函數(shù)？德國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決。（20）研究一般邊值問(wèn)題。此問(wèn)題進(jìn)展迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支，目前還在繼讀發(fā)展。（21）具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。此問(wèn)題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（H.Rohrl）于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國(guó)數(shù)學(xué)家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻(xiàn)。（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。此問(wèn)題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對(duì)一個(gè)變量情形已解決而使問(wèn)題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究。這不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題。20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展。人物軼事1.以希爾伯特命名的數(shù)學(xué)名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。比如有一次希爾伯特曾問(wèn)系里的同事“請(qǐng)問(wèn)什么叫做希爾伯特空間？”2.1916年，埃米·諾特這位卓有才華的青年婦女來(lái)到哥廷根大學(xué)。希爾伯特對(duì)她的學(xué)識(shí)倍加欣賞，立即決定讓她留下來(lái)當(dāng)講師，輔助相對(duì)論的研究工作。但當(dāng)時(shí)歧視婦女的現(xiàn)象相當(dāng)嚴(yán)重，希爾伯特的建議遭到語(yǔ)言學(xué)、歷史學(xué)等教授們的強(qiáng)烈反對(duì)。希爾伯特拍案而起，大聲疾呼：“先生們，這里是學(xué)校，不是澡堂！”于是因此激怒了他的對(duì)手，希爾伯特對(duì)此不為所動(dòng)，毅然決定讓諾特以自己的名義代課。3.他的一位學(xué)生買了一部車，后來(lái)不幸死于一場(chǎng)車禍。在葬禮上，死者家屬請(qǐng)希爾伯特老師說(shuō)幾句話，于是他說(shuō)：“小克勞斯是我學(xué)生當(dāng)中最優(yōu)秀的，他生前在數(shù)學(xué)方面，具有非同凡響的天分。他對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的非常廣泛，諸如……”他暫停了一會(huì)兒，然后說(shuō)：“考慮單位區(qū)間上一組可微函數(shù)，然后取它們的閉包……”4.中學(xué)時(shí)代，希爾伯特就是一名勤奮好學(xué)的學(xué)生，對(duì)于科學(xué)特別是數(shù)學(xué)表現(xiàn)出濃厚的興趣，善于靈活和深刻地掌握以至應(yīng)用老師講課的內(nèi)容。1880年，他不顧父親讓他學(xué)法律的意愿，進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)。人物思想1900年希爾伯特應(yīng)邀參加巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)并在會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：正如人類的每一項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊的自由的境界。希爾伯特特別強(qiáng)調(diào)重大問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對(duì)最近的將來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)可能的發(fā)展有一個(gè)概念，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的，希望在將來(lái)能夠解決的問(wèn)題?！蓖瑫r(shí)又指出：“某類問(wèn)題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)程的深遠(yuǎn)意義以及它們?cè)谘芯空邆€(gè)人的工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的。只要一門科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。”他闡述了重大問(wèn)題所具有的特點(diǎn)，好的問(wèn)題應(yīng)具有以下三個(gè)特征：清晰性和易懂性；雖困難但又給人以希望；意義深遠(yuǎn)。同時(shí)他分析了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會(huì)議上他提出了在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)努力去解決的23個(gè)問(wèn)題，即著名的“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。編號(hào)問(wèn)題
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（圖）戴維·希爾伯特
1連續(xù)統(tǒng)假設(shè)公理化集合論1963年，PaulJ.Cohen在下述意義下證明了第一個(gè)問(wèn)題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判定。2算術(shù)公理的相容性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)希爾伯特證明算術(shù)公理的相容性的設(shè)想，后來(lái)發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計(jì)劃（“元數(shù)學(xué)”或“證明論”）但1931年歌德?tīng)柕摹安煌陚涠ɡ怼敝赋隽擞谩霸獢?shù)學(xué)”證明算術(shù)公理的相容性之不可能。數(shù)學(xué)的相容性問(wèn)題至今未解決。3兩等高等底的四面體體積之相等幾何基礎(chǔ)這問(wèn)題很快（1900）即由希爾伯特的學(xué)生M.Dehn給出了肯定的解答。4直線作為兩點(diǎn)間最短距離問(wèn)題幾何基礎(chǔ)這一問(wèn)題提得過(guò)于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問(wèn)題上取得很大進(jìn)展，但問(wèn)題并未完全解決。5不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念拓?fù)淙赫摻?jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的努力，這個(gè)問(wèn)題于1952年由Gleason,Montqomery,Zipping等人最后解決，答案是肯定的。6物理公理的數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)物理在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說(shuō)，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問(wèn)題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。7某些數(shù)的無(wú)理性與超越性超越數(shù)論1934年A.O.temohm和Schneieder各自獨(dú)立地解決了這問(wèn)題的后半部分。8素?cái)?shù)問(wèn)題數(shù)論一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問(wèn)題中的Goldbach問(wèn)題至今也未解決。中國(guó)數(shù)學(xué)家在這方面做了一系列出色的工作。9任意數(shù)域中最一般的互反律之證明類域論已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決。10Diophantius方程可解性的判別不定分析1970年由蘇、美數(shù)學(xué)家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。11系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型二次型理論H.Hasse(1929)和C.L.Siegel(1936,1951)在這問(wèn)題上獲得了重要的結(jié)果。12Abel域上kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。復(fù)乘法理論尚未解決。13不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。方程論與實(shí)函數(shù)論連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學(xué)家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題仍未解決。14證明某類完全函數(shù)系的有限性代數(shù)不變式理論1958年永田雅宜給出了否定解決。15Schubert記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)代數(shù)幾何學(xué)由于許多數(shù)學(xué)家的努力，Schubert演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由B.L.VanderWaerden(1938-40)與A.Weil(1950)建立。16代數(shù)曲線與曲面的拓?fù)淝€與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論問(wèn)題的前半部分，近年來(lái)不斷有重要結(jié)果。17正定形式的平方表示式域（實(shí)域）論已由Artin于1926年解決。18由全等多面體構(gòu)造空間結(jié)晶體群理論部分解決。19正則變分問(wèn)題的解是否一定解析橢圓型偏微分方程理論這個(gè)問(wèn)題在某種意義上已獲解決。20一般邊值問(wèn)題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問(wèn)題的研究正在蓬勃發(fā)展。21具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性線性常微分方程大范圍理論已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl(德，1957)解決。22解析關(guān)系的單值化Riemann曲面體一個(gè)變數(shù)的情形已由P.Koebe(德，1907)解決。23變分法的進(jìn)一步發(fā)展變分法Hilbert本人和許多數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。
獲獎(jiǎng)記錄：1930年獲得瑞典科學(xué)院的米塔格-萊福勒獎(jiǎng)，1942年成為柏林科學(xué)院榮譽(yù)院士。人物評(píng)價(jià)希爾伯特是一位正直的科學(xué)家，第一次世界大戰(zhàn)前夕，他拒絕在德國(guó)政府為進(jìn)行欺騙宣傳而發(fā)表的《告文明世界書》上簽字。戰(zhàn)爭(zhēng)期間，他敢于公開(kāi)發(fā)表文章悼念“敵人的數(shù)學(xué)家”達(dá)布。希特勒上臺(tái)后，他抵制并上書反對(duì)納粹政府排斥和迫害猶太科學(xué)家的政策。由于納粹政府的反動(dòng)政策日益加劇，許多科學(xué)家被迫移居外國(guó)，其中多數(shù)流亡到美國(guó)，曾經(jīng)盛極一時(shí)的哥廷根學(xué)派衰落了。
獲獎(jiǎng)記錄
1930年獲得瑞典科學(xué)院的米塔格-萊福勒獎(jiǎng)，
1942年成為柏林科學(xué)院榮譽(yù)院士。
人物評(píng)價(jià)
希爾伯特（HilbertD,1862.1.23~1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國(guó)乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個(gè)世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)。
希爾伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠(chéng)的個(gè)人品質(zhì)吸引了來(lái)自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng)在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時(shí)，德國(guó)《自然》雜志發(fā)表過(guò)這樣的觀點(diǎn)：現(xiàn)在世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，在整個(gè)數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。
參考資料
[1]
[趣味數(shù)學(xué)]希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題-搜狐教育 · 搜狐網(wǎng)[引用日期2021-09-19]
[2]
戴維·希爾伯特 簡(jiǎn)歷 - 名人簡(jiǎn)歷 · 名人簡(jiǎn)歷[引用日期2022-01-04]
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那么請(qǐng)問(wèn)希爾伯特先生賺錢了么？
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫！
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