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整數(shù)分拆
萊昂哈德·歐拉提出的理論
整數(shù)分拆問題是一個古老而又十分有趣的問題。所謂整數(shù)的分拆，指將一個正整數(shù)表示為若干個正整數(shù)的和。
整數(shù)分拆理論，主要是研究各種類型的分拆函數(shù)的性質(zhì)及其相互關(guān)系。早在中世紀(jì)，就有關(guān)于特殊的整數(shù)分拆問題的研究。18世紀(jì)40年代，L.歐拉提出了用母函數(shù)法（或稱形式冪級數(shù)法）研究整數(shù)分拆，證明了不少有重要意義的定理，為整數(shù)分拆奠定了理論基礎(chǔ)。解析數(shù)論中的圓法的引進(jìn)，使整數(shù)分拆理論得到了進(jìn)一步發(fā)展。整數(shù)分拆與模函數(shù)有密切關(guān)系，并在組合數(shù)學(xué)、群論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計學(xué)及質(zhì)點(diǎn)物理學(xué)等方面都有重要應(yīng)用。
基本信息
| 中文名 | 整數(shù)分拆 |
| 外文名 | Integer splitting、Partition |
| 提出者 | 萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler) |
| 應(yīng)用 | 研究各種分拆函數(shù)性質(zhì)及相互關(guān)系 |
| 相關(guān)人物 | G.H.哈代 斯里尼瓦瑟·拉馬努金 |
| 科目 | 數(shù)學(xué) |
收起
原理
整數(shù)分拆問題是一個古老而又十分有趣的問題。所謂整數(shù)的分拆，指將一個正整數(shù)表示為若干個正整數(shù)的和。
分類
根據(jù)是否考慮分拆部分之間的排列順序，我們可以將整數(shù)分拆問題分為有序分拆（composition）和無序分拆（partition）。兩者之間的區(qū)別如下：
在有序分拆中，考慮分拆部分求和之間的順序。假定
，
之間不同的排序記為不同的方案，稱之為n的有序k拆分，如3的有序2拆分為：
。我們可以將這個問題建模為排列組合中的“隔板”問題，即n個無區(qū)別的球分為r份且每份至少有一個球，則需要用
個隔板插入到球之間的
個空隙，因此總共的方案數(shù)為
。
在無序拆分中，不考慮其求和的順序。一般假定，
，我們稱之為n的無序k拆分，如3的無序k拆分為：
。這種拆分可以理解為將n個無區(qū)別的球分為r份且每份至少有一個球。
一般情況下，無序拆分的個數(shù)用
表示，則
，
，
。
在通常情況下，整數(shù)分拆是指整數(shù)的無序分拆。
例子
例1 有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，問能稱出多少重量，并各有幾種稱法。
該問題可以看成n拆分成1,2,3,4之和且不允許重復(fù)的拆分?jǐn)?shù)，利用母函數(shù)計算如下：
整數(shù)分拆
例3 將15分拆成兩個自然數(shù)的和，并使這兩個自然數(shù)的積最大，如何分拆？
分析與解 不考慮加數(shù)順序，可將15分拆成下列形式的兩個自然數(shù)的和：
。顯見，將15分拆成
時，有最大積
。
注：從上述兩例可見，將一個自然數(shù)分拆成兩個自然數(shù)的和時，如果這個自然數(shù)是偶數(shù)2m，當(dāng)分拆成
時，有最大積
；如果這個自然數(shù)是奇數(shù)
，當(dāng)分拆成
時，有最大積
。
例4 將14分拆成3個自然數(shù)的和，并使這三個自然數(shù)的積最大，如何分拆？
分析與解 顯然，只有使分拆成的數(shù)之間的差盡可能地?。ū热缡?或1），這樣得到的積才最大。這樣不難想到將14分拆成
時，有最大積
。
拆分?jǐn)?shù)估計
拆分?jǐn)?shù)估計定理證明
拆分?jǐn)?shù)性質(zhì)
性質(zhì)一
整數(shù)n拆分成最大數(shù)為k的拆分?jǐn)?shù)，和數(shù)n拆分成k個數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)相等。
性質(zhì)二
整數(shù)n拆分成最多不超過m個數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)，和n拆分成最大不超過m的拆分?jǐn)?shù)相等。
性質(zhì)三
整數(shù)n拆分成互不相同的若干奇數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)，和n拆分成自共軛的Ferrers圖像的拆分?jǐn)?shù)相等。
拆分?jǐn)?shù)計算方法
整數(shù)拆分可以利用漸進(jìn)公式計算，隨著N的無限大，整數(shù)拆分估算值接近實(shí)際值，現(xiàn)代還可以利用計算機(jī)的方法進(jìn)行求解。在這里，主要介紹4中計算方法。
遞推法
根據(jù)n和m的關(guān)系，考慮下面幾種情況：
（1）當(dāng)
時，不論m的值為多少
，只有一種劃分，即
；
（2）當(dāng)
時，不論 的值為多少（
），只有一種劃分，即
；
（3）當(dāng)
時，根據(jù)劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：
（a）劃分中包含n的情況，只有一個，即
；
（b）劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數(shù)字也一定比n小，即n的所有
劃分；
因此，
。
（4）當(dāng)
時，由于劃分中不可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)，因此就相當(dāng)于f(n,n)；
（5）當(dāng)
時，根據(jù)劃分中是否包含m，可以分為兩種情況：
（a）劃分中包含 的情況，即
，其中
的和為
，可能再次出現(xiàn)m，因此是
的m劃分，因此這種劃分個數(shù)為
；
（b）劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的
劃分，個數(shù)為
；
因此，
。
綜合以上各種情況，可以看出，上面的結(jié)論具有遞歸定義的特征，其中（1）和（2）屬于回歸條件，（3）和（4）屬于特殊情況，而情況（5）為通用情況，屬于遞歸的方法，其本質(zhì)主要是通過減少n或m以達(dá)到回歸條件，從而解決問題。
詳細(xì)遞推公式描述如下：
參考源碼
這個版本的時間復(fù)雜度較高，運(yùn)行效率很低。
動態(tài)規(guī)劃法
考慮到在上一節(jié)使用遞歸中，很多的子遞歸重復(fù)計算。如在計算
時，劃分成為 
，進(jìn)一步劃分為 
，接下來轉(zhuǎn)換為
，這樣就產(chǎn)生了重復(fù)，然而，在遞歸的時候，每個都需要被計算一遍，因此可見，位于底層的狀態(tài)，計算的次數(shù)也越來越多。這樣在時間開銷特別大，是造成運(yùn)算慢的根本原因，比如算120的時候需要3秒中，計算130的時候需要27秒鐘，在計算機(jī)200的時候....計算10分鐘還沒計算出來。
鑒于此，我們已經(jīng)分析出了普通遞推關(guān)系中存在大量的冗余造成了重復(fù)計算，最終導(dǎo)致了運(yùn)行時間太長，一種自然地想法是能夠用一種技巧，以避免重復(fù)計算？這里我們使用動態(tài)規(guī)劃的思想進(jìn)行程序設(shè)計。
在上一節(jié)中，已經(jīng)分析了狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方程，因此，我們在求解子問題時，利用標(biāo)記的思想，首先檢查產(chǎn)生的子問題是否在之前被計算過，這是因?yàn)閷τ谙嗤淖訂栴}，得到的結(jié)果肯定是一樣的，因此利用這一步去掉冗余的操作，極大減少了計算的時間開銷。對于沒有標(biāo)記的子問題來說，一定是沒有被計算過，這樣，在計算完成后，順便標(biāo)記一下子問題，以確保以后不用再重復(fù)計算。利用這個特性，可以確保所有的劃分子問題都無重復(fù)，無遺漏的恰巧被計算一次。
動態(tài)規(guī)劃版主要是利用了標(biāo)記思想進(jìn)行加速。
參考源碼如下：
這樣的算法效率快了很多。
生成函數(shù)法
對于整數(shù)拆分問題，也可以從另一個角度，即“母函數(shù)”的角度來考慮這個問題。所謂母函數(shù)，即為關(guān)于x的一個多項(xiàng)式
，滿足：
因此 
的劃分?jǐn)?shù)，也就是從1到
這 個數(shù)字的組合，每個數(shù)字理論上可以無限重復(fù)出現(xiàn)，即個數(shù)隨意，使它們的和為。顯然，數(shù)字 可以有如下可能，出現(xiàn)0次（即不出現(xiàn)），1次，2次，…，
次等等。把數(shù)字用 
表示，出現(xiàn) 次的數(shù)字用 
表示，不出現(xiàn)用1表示。例如，數(shù)字2用 
表示，2個2用 
表示，3個2用 
表示，k個2用 
表示。則對于從1到 的所有可能組合結(jié)果我們可以表示為：
上面的表達(dá)式中，每個括號內(nèi)的多項(xiàng)式代表了數(shù)字的參與到劃分中的所有可能情況。因此，該多項(xiàng)式展開后，由于
，因此 就代表了 的劃分，展開后項(xiàng)的系數(shù)也就是的所有劃分個數(shù)，即
。
由此我們找到了關(guān)于整數(shù)劃分的母函數(shù)，剩下的問題就是，我們需要求出 的展開后的所有系數(shù)。為此，我們首先要做多項(xiàng)式乘法，對于計算機(jī)編程來說，并不困難。我們把一個關(guān)于
的多項(xiàng)式用一個整數(shù)數(shù)組
表示，
代表 的系數(shù)，然后卷積即可。
參考源碼：
這樣基于生成函數(shù)的方法實(shí)際上快了很多。
五邊形數(shù)法
對應(yīng)圖形如下：
整數(shù)分拆
其中 為 的分割函數(shù)。上式配合五邊形數(shù)定理，有：
在 時，等式右側(cè)的系數(shù)均為0，比較等式二側(cè)的系數(shù)，可得
整數(shù)分拆
參考代碼：
以上設(shè)計的代碼是最高效的。
通過比較上述四種算法，可見整數(shù)拆分的劃分方法比較多樣，且不同的算法運(yùn)行效率差距比較大，需要仔細(xì)理解和思考。
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
作者
