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平面向量（物理學(xué)中定理定律）

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平面向量

物理學(xué)中定理定律

平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理學(xué)中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數(shù)量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。

基本信息

中文名	平面向量
外文名	Plane vector
別名	矢量
提出者	英國數(shù)學(xué)家哈密頓
特點	既有方向又有大小
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué) 教育學(xué) 力學(xué)

收起

發(fā)展歷程

哈密頓

向量(矢量)這個術(shù)語作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)-物理學(xué)中的一個重要概念，首先是由英國數(shù)學(xué)家哈密頓使用的。向量的名詞雖來自哈密頓，但向量作為一條有向線段的思想?yún)s由來已久。向量理論的起源與發(fā)展主要有三條線索：物理學(xué)中的速度和力的平行四邊形法則、位置幾何、復(fù)數(shù)的幾何表示。

物理學(xué)中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個重要起源之一。18世紀中葉之后，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導(dǎo)致了在19世紀中葉向量力學(xué)的建立。同時，向量概念是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。它始于萊布尼茲的位置幾何。

現(xiàn)代向量理論是在復(fù)數(shù)的幾何表示這條線索上發(fā)展起來的。18世紀，由于在一些數(shù)學(xué)的推導(dǎo)中用到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何表示成為人們探討的熱點。哈密頓在做3維復(fù)數(shù)的模擬物的過程中發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。隨后，吉布斯和亥維賽在四元數(shù)基礎(chǔ)上創(chuàng)造了向量分析系統(tǒng)，最終被廣為接受。

相關(guān)概念

有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作

。

向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作

。

零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作0。

相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量。

單位向量：模等于1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示。

相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，

，零向量的相反向量仍然是零向量。

表示方法

幾何表示

具有方向的線段叫做有向線段，我們以A為起點、B為終點的有向線段作為向量，可以記作

。但是，區(qū)別于有向線段，在一般的數(shù)學(xué)研究中，向量是可以平移的。

坐標表示

向量的坐標表示

在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得：

，我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標。

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示。在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。

根據(jù)定義，任取平面上兩點

即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標。

書寫方法

向量加法的四邊形法則

印刷體：只用小寫字母表示時，采用加粗黑體；用首尾點大寫字母表示時，需要在字母上加箭頭，如

；

手寫體：均需在字母上加箭頭表示，如

、

。

運算性質(zhì)

向量同數(shù)量一樣，也可以進行運算。向量可以參與多種運算過程，包括線性運算（加法、減法和數(shù)乘）、數(shù)量積、向量積與混合積等。

下面介紹運算性質(zhì)時，將統(tǒng)一作如下規(guī)定：任取平面上兩點

，

。

加法

向量加法的三角形法則

已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：

。

用坐標表示時，顯然有：

。這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差

三角形法則：

，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則，簡記為：首尾相連、連接首尾、指向終點。

四邊形法則：已知兩個從同一點A出發(fā)的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點的對角線AD就是向量AC、AB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點對角連。

對于零向量和任意向量a，有：

。

向量的加法滿足所有的加法運算定律，如：交換律、結(jié)合律。

減法

，這種計算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點、指被減。

。

數(shù)乘

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作

。當

時，

的方向和a的方向相同，當

時，

的方向和a的方向相反，當

時，

。

用坐標表示的情況下有：

設(shè)λ、μ是實數(shù)，那么滿足如下運算性質(zhì)：

數(shù)量積

已知兩個非零向量a、b，那么

（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作

。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是：a的長度

與b在a的方向上的投影

的乘積。

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和。即：若

，則

數(shù)量積具有以下性質(zhì)：

向量積

向量積示意圖

向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點做向量

，向量

，則

叫做向量a與b的夾角，記作

。已知兩個非零向量a、b，那么

叫做a與b的向量積或外積。向量積幾何意義是以a和b為邊的平行四邊形面積，即

。

若a、b不共線，

是一個向量，其模是

，

的方向為垂直于a和b，且a、b和

按次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則

。

若

，則有：

向量積具有如下性質(zhì)：

混合積

給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積

，所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作

或

，即

混合積具有下列性質(zhì)：

1.三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當a、b、c構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù)；當a、b、c構(gòu)成左手系時，混合積是負數(shù)，即

（當a、b、c構(gòu)成右手系時

；當a、b、c構(gòu)成左手系時

）

2.上條性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是

基本定理

平面向量

如果e和e是同一平面內(nèi)的兩個不共線的非零向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ、μ，使

。

有關(guān)推論

?三角形ABC內(nèi)一點O，

，則點O是三角形的垂心。

?若O是三角形ABC的外心，點M滿足

，則M是三角形ABC的垂心。

?若O和三角形ABC共面，且滿足

，則O是三角形ABC的重心。

?三點共線：三點A,B,C共線推出

?平面三角形ABC內(nèi)有一點O，則S

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