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羅爾中值定理（微分學(xué)中一條重要的定理）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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羅爾中值定理

微分學(xué)中一條重要的定理

三大微分中值定理之一

羅爾（Rolle）中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

羅爾定理描述如下：

如果 R 上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，（2）在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個(gè) ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

基本信息

中文名	羅爾中值定理
外文名	Rolle's theorem
別名	羅爾定理
提出者	米歇爾.羅爾（Michel Rolle，法，1652—1719）
提出時(shí)間	1691年
應(yīng)用學(xué)科	高等數(shù)學(xué) 、微分學(xué)
適用領(lǐng)域	物理數(shù)學(xué)

收起

證明過(guò)程

證明：因?yàn)楹瘮?shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1. 若

，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

2. 若

，則因?yàn)?

使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個(gè)在 (a,b) 內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點(diǎn)，又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費(fèi)馬引理推知：

。

另證：若

，不妨設(shè)

，

，由可導(dǎo)條件知，

，

，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。

幾何意義

若連續(xù)曲線

在區(qū)間 [a,b] 上所對(duì)應(yīng)的弧段 AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個(gè)端點(diǎn) A,B 處的縱坐標(biāo)相等，則在弧 AB 上至少有一點(diǎn) C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于 x 軸。

幾種特殊情況

（1）有界開區(qū)間上的有界函數(shù)

若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

，則至少存在一個(gè)

，使得

。

（2）有界區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)

若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

（或

），則至少存在一個(gè)

，使得

。

（3）無(wú)界區(qū)間上的有界函數(shù)

若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

，則至少存在一個(gè)

，使得

。

（4）無(wú)界區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)

若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

（或

），則至少存在一個(gè)

，使得

。

（5）半無(wú)界區(qū)間上的有界函數(shù)

若函數(shù)

在區(qū)間[

)上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

，則至少存在一個(gè)

，使得

。

（6）半無(wú)界區(qū)間上的無(wú)界函數(shù)

若函數(shù)

在區(qū)間[

)上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

（或

），則至少存在一個(gè)

，使得

。

證明

這里僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其余證明的思路大致類似。

定理若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

。則至少存在一個(gè)

，使得

。

證明：至少可取到一點(diǎn)

，使

，否則

恒等于

，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)

，都有

。

不妨設(shè)

，取

，顯然

。根據(jù)極限定義，由

可得

，當(dāng)

時(shí)，有

，

任取

，則有

，

。

利用

，類似地可知存在

，使

。

定理若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)且可導(dǎo)，并有

。則至少存在一個(gè)

，使得

。

證明：任取

，因?yàn)?/span>

，所以至少存在一點(diǎn)

，使

。

類似地由

可知存在一點(diǎn)

，使

。

這就有了

且

，

于是，

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則在閉區(qū)間

上必有

的最小值點(diǎn)

，由于閉區(qū)間

的兩個(gè)端點(diǎn)都不可能是

的最小值點(diǎn)，由此可知

，根據(jù)費(fèi)馬定理可知

。

范例解析

用羅爾中值定理證明：方程

在 (0,1) 內(nèi)有實(shí)根。

證明：設(shè)

則 F(x) 在 [0,1] 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，

，

所以由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)

，使得

，

所以

，

所以ξ是方程

在 (0,1) 內(nèi)的一個(gè)實(shí)根。

結(jié)論得證。

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