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雙曲線（應(yīng)用于數(shù)學(xué)解析幾何的函數(shù)曲線）

次瀏覽 | 更新時間：2023-05-31

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雙曲線（hyperbola）是一種圓錐曲線，由一個不通過直圓錐面的頂點的平面去截取圓錐體的兩個葉得到。雙曲線也是平面到兩個固定的點的距離差為常數(shù)的點的軌跡，這個常數(shù)就是雙曲線的焦距。在數(shù)學(xué)解析幾何中，雙曲線是由方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 表示的函數(shù)曲線，其中 a 和 b 是常數(shù)，且 a>0。雙曲線的焦點在 x 軸上，并且永遠是左右兩個分支相互對稱。雙曲線在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中有廣泛應(yīng)用。例如，在光學(xué)中，雙曲線被用于設(shè)計折射望遠鏡和反射望遠鏡；在物理學(xué)中，雙曲線被用于描述電磁波、光學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域的現(xiàn)象；在數(shù)學(xué)中，雙曲線被用于研究圓錐曲線、函數(shù)和不等式等主題。

雙曲線

應(yīng)用于數(shù)學(xué)解析幾何的函數(shù)曲線

雙曲線（英文：hyperbola）是常見的一類圓錐曲線，可以由一個不通過直圓錐面的頂點的平面去截取圓錐體的兩個葉得到。雙曲線也是平面到兩個固定的點的距離差為常數(shù)的點的軌跡。

基本信息

中文名

雙曲線

英文名

hyperbola

提出時間

16世紀(jì)

相關(guān)人物

梅內(nèi)克謬斯、阿波羅尼奧斯、歐拉等

相關(guān)著作

《圓錐曲線論》、《分析引論》

研究對象

解析幾何

運用領(lǐng)域

數(shù)學(xué)

歷史

約公元前 4 世紀(jì)，古希臘學(xué)者梅內(nèi)克謬斯(Menaechmus)在研究平面與圓錐相交時最先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，即橢圓，拋物線和雙曲線是圓錐體表面與平面的交點產(chǎn)生的。如圖所示，

為直角三角形，首先以

的短直角邊 AB 為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐體，然后取一垂直于斜邊（BC邊）的平面截取這個圓錐體切口形成的曲線即為雙曲線。

公元前2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）從純幾何的思想出發(fā)，建立起系統(tǒng)的圓錐曲線理論。討論如右圖所示，他在同一個圓錐體中使用不同的切割面得到了圓、圓、雙曲線、拋物線4種圖形。阿波羅尼奧斯發(fā)表了數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》，該著作詳細介紹了雙曲線等圓錐曲線的性質(zhì)。

16世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒（Johannes Kepler）發(fā)現(xiàn)了行星三大定律，意大利數(shù)學(xué)家伽利略·伽利雷（Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei）基于運動合成的思想，發(fā)現(xiàn)了物體斜拋運動的軌跡為拋物線，人們開始意識到圓錐曲線不單是圓錐體的切割面，還與自然界的運動變化息息相關(guān)。

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes）和皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）創(chuàng)立了解析幾何，建立起坐標(biāo)系的概念，用數(shù)學(xué)方程來研究圓錐曲線的各種性質(zhì)。1745 年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）發(fā)表了《分析引論》，基于方程思想對圓錐曲線進行了系統(tǒng)的研究。

基本概念

定義

把平面內(nèi)與兩個定點

的距離差的絕對值等于常數(shù) (小于

并且大于0) 的點的軌跡叫作雙曲線，這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距，焦距的一半長度稱為半焦距。

如圖所示，直角坐標(biāo)系中

在

軸上，且線段

的中點與直角坐標(biāo)系的原點相重合。設(shè)

為雙曲線上任意一點，焦距為

，兩焦點坐標(biāo)為

。根據(jù)雙曲線的定義，得方程

。

上述方程的曲線即為雙曲線。

標(biāo)準(zhǔn)方程

對

整理可得：

。

上式記為式（1）。由于

，即

。

令

代人式得：

。

兩邊同除以

, 得：

。

該方程稱為焦點在

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。式中,

滿足關(guān)系式

。

如果雙曲線的焦點在

軸上, 焦點為

。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

式中,

同樣滿足關(guān)系式

。

幾何性質(zhì)

焦點在

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

具有如下的幾何性質(zhì)，焦點在

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)可類似得出。

范圍

整理方程

可以得到

。

也就是說

，即

或者

時，

才有意義。因此，雙曲線不存在位于兩條直線

和

之間的區(qū)域。

對稱性

從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以看到，雙曲線的圖像關(guān)于

軸、

軸和原點都是對稱的，也就是說，兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖像的對稱軸，其中兩個焦點所在的軸（

軸）稱為焦點軸或?qū)崒ΨQ軸，另一條軸稱為虛對稱軸。此外，坐標(biāo)原點為雙曲線圖像的對稱中心點或者中心。

頂點

將

代入方程

可得，

。也就是說，雙曲線與

軸存在兩個交點，可記為

和

，這兩個交點也稱為雙曲線的頂點，頂點相連的線段

稱為雙曲線的實軸，實軸的一半稱為實半軸，長度為

。

將

代入方程

，解得

，可以看到

并沒有實數(shù)解，也就是說，雙曲線與

軸不能相交。如果在

軸上取兩個點

，把線段

稱為雙曲線的虛軸，虛軸的一半稱為虛半軸，長度為

。

從上述分析也可以看出，雙曲線的焦點在實軸上，焦點和頂點總是在同一條對稱軸。

漸近線

分別作兩條對角線

，其斜率的絕對值為虛軸和實軸的長度之比，可以看到，雙曲線圖像局限在兩條對角線之內(nèi)，直線

稱為雙曲線的浙近線。對于焦點在

軸上的雙曲線

而言，其漸近線方?為

。

如圖所示，可以根據(jù)如下步驟作出漸近線。

分別過

作出四條直線

和

，它們圍成一個矩形。再畫出該矩形的兩條對角線，顯然，這兩條對角線為

，也就是該雙曲線的浙近線。雙曲線不與漸近線相交，但在離中心很遠的地方，雙曲線將無限接近于其漸近線。

離心率

定義雙曲線的離心率

為焦距

與實軸

之比，即：

由于

，離心率

，離心率決定了雙曲線的形狀。離心率越大，雙曲線的開口也就越大。若兩條雙曲線的離心率相等，那么這兩條雙曲線相似。

準(zhǔn)線

如圖所示，直線

（即

）和直線

（即

）稱為這條雙曲線的準(zhǔn)線，其中

叫作左準(zhǔn)線，

叫作右準(zhǔn)線。雙曲線的準(zhǔn)線具有以下的性質(zhì)：

雙曲線

上任意一點

到左焦點

的距離與它到左準(zhǔn)線

的距離之比等于這雙曲線的離心率

，任意一點

到右焦點

的距離與它到右準(zhǔn)線

的距離之比也等于這雙曲線的離心率

。

切線

對于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

或

來說，

曲線上的一點

對應(yīng)的切線方程分別為：

或

若已知切線方程的斜率為

，則該切線方程分別為：

和

下表是雙曲線兩類標(biāo)準(zhǔn)的方程的部分性質(zhì)。

標(biāo)準(zhǔn)方程
性質(zhì)	范圍	或	或
	對稱性	對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心:原點
	頂點	和	和
	漸近線
	離心率	，
	實虛軸	線段稱為雙曲線的實軸，實軸的一半稱為實半軸，長度為；線段稱為雙曲線的虛軸，虛軸的一半稱為虛半軸，長度為
滿足關(guān)系式：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)，資料來源于：

表示方法

幾何表示

如圖所示，用一個不通過直圓錐面的頂點的平面去截取圓錐體的兩個葉，所得的截痕是一條雙曲線。該雙曲線的焦點

為兩個葉的內(nèi)切球切點。

標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)焦點位于

軸，即

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

上述方程也稱為第一標(biāo)準(zhǔn)方程。

當(dāng)焦點位于

軸，

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

或

上述方程也稱為第二標(biāo)準(zhǔn)方程。

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，

滿足以下關(guān)系：

極坐標(biāo)方程

建立如右圖所示的極坐標(biāo)，則雙曲線的極坐標(biāo)方程為：

式中，

與標(biāo)準(zhǔn)方程中的

存在如下關(guān)系：

。

當(dāng)

，方程表示雙曲線的右支，當(dāng)

時，方程表示雙曲線的左支。

參數(shù)方程

雙曲線

的參數(shù)方程有如下多種表達形式。

類似地，雙曲線

的參數(shù)方程也有以下對應(yīng)的表達形式。

特殊的雙曲線

等軸雙曲線

實軸和虛軸相等的雙曲線，稱為等軸曲線，也稱為直角雙曲線。

由等軸雙曲線的定義可知，以下曲線均為等軸雙曲線。

所有等軸雙曲線的離心率

，也就是說等軸雙曲線都是相似的。此外，等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直。

共軛雙曲線

如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸(這里的實軸和虛軸指的是線段)，則稱這兩條雙曲線是共軛的。每條雙曲線都叫作另一條雙曲線的共軛雙曲線。如果兩條雙曲線共軛，則這兩條雙曲線的四個焦點到共同中心是等距的，此外，它們有共同的漸近線。

由共軛雙曲線的定義可知：

雙曲線

和

互為共軛雙曲線。

反比例函數(shù)

形如

的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。如右圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中, 反比例函數(shù)

的圖象是二次雙曲線，

時, 該雙曲線的兩支分別位于一、三象限；

時, 該雙曲線的兩支分別位于二、四象限。

反比例函數(shù)的曲線是一種特殊的等軸雙曲線，其圖像關(guān)于原點對稱，漸近線為

軸和

軸。反比例函數(shù)的圖像可以看作把等軸雙曲線的漸進線作為坐標(biāo)軸后得到圖像。

證明如下：

在直角坐標(biāo)系

中，焦點位于

軸時，等軸雙曲線的方程可以表示為：

等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，因此可以將這兩條漸近線旋轉(zhuǎn)45°得到新的坐標(biāo)系

，其坐標(biāo)軸分別記為

軸。

該等軸雙曲線上點在新的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)與原坐標(biāo)系坐標(biāo)存在如下關(guān)系：

則新的坐標(biāo)系中可以得到：

如果令

，

則有

。

不妨使用

代替

，

則有

，

即得到反比例函數(shù)的圖像。

應(yīng)用

雙曲線是一種常見的二次曲線，在許多領(lǐng)域都有著廣泛的用途。例如, 在軍事上, 根據(jù)觀察站所測得的炮聲的時間差, 借助于雙曲線方程, 就可以確定出敵人的炮兵陣地的位置. 又如, 巴黎有名的埃菲爾鐵塔是雙曲線形的建筑。由雙曲線生成的曲面具有良好的抗壓能力, 被廣泛用于多類工程設(shè)計中, 能節(jié)省大量的建筑材料, 進而減少投資,降低成本。如許多水電站大壩就是采用的是雙曲面構(gòu)型。

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