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分析力學(xué)是力學(xué)中的一個(gè)分支,它以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變量,以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ),運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問(wèn)題。1788年,J.-L.拉格朗日出版了《分析力學(xué)》一書(shū),為這門(mén)學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。
分析力學(xué)是一種非常有用的工具,它通過(guò)對(duì)物體之間的相互作用進(jìn)行建模和分析,可以
幫助我們更好地理解物體的運(yùn)動(dòng)和力學(xué)行為。它的應(yīng)用范圍非常廣泛,包括天體力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)等等。
然而,分析力學(xué)也有一些限制。例如,它通常只適用于宏觀世界的力學(xué)問(wèn)題,對(duì)于微觀世界的量子力學(xué)問(wèn)題則不適用。此外,分析力學(xué)需要假設(shè)物體之間的相互作用是局部的,這意味著它無(wú)法處理非局部的相互作用的問(wèn)題。
總之,分析力學(xué)是一個(gè)非常有價(jià)值的工具,它為我們提供了研究力學(xué)問(wèn)題的一種有效方法,但在應(yīng)用時(shí)也需要考慮它的限制。
分析力學(xué)
分析力學(xué)(analytical mechanics)一般力學(xué)的一個(gè)分支,以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù),以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ),運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問(wèn)題。1788年出版的 J.-L.拉格朗日的《分析力學(xué)》一書(shū),為這門(mén)學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。 基本信息
性質(zhì)
理論力學(xué)的一個(gè)分支,它通過(guò)用廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù),運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法,研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問(wèn)題
基本概況
分析力學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支,是對(duì)經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)。 經(jīng)典力學(xué)最初的表達(dá)形式由牛頓給出,大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具,因此它又被稱(chēng)為矢量力學(xué)(有時(shí)也叫“牛頓力學(xué)”)。拉格朗日,哈密頓,雅可比等人使用廣義坐標(biāo)和變分法,建立了一套同矢量力學(xué)等效的力學(xué)表述方法。同矢量力學(xué)相比,分析力學(xué)的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學(xué)中極為復(fù)雜的問(wèn)題,運(yùn)用分析力學(xué)可以較為簡(jiǎn)便的解決。分析力學(xué)的方法可以推廣到量子力學(xué)系統(tǒng)和復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中,在量子力學(xué)和非線性動(dòng)力學(xué)中都有重要應(yīng)用。 不同的系統(tǒng)所遵循的運(yùn)動(dòng)微分方程不同;研究大量粒子的系統(tǒng)需用統(tǒng)計(jì)力學(xué);量子效應(yīng)不能忽略的過(guò)程需用量子力學(xué)研究。但分析力學(xué)知識(shí)在統(tǒng)計(jì)力學(xué)和量子力學(xué)中仍起著重要作用。 1760~1761年,拉格朗日用這兩個(gè)原理和理想約束結(jié)合,得到了動(dòng)力學(xué)的普遍方程,幾乎所有的分析力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程都是從這個(gè)方程直接或間接導(dǎo)出的。 1834年,哈密頓推得用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示的動(dòng)力學(xué)方程,稱(chēng)為正則方程。哈密頓體系在多維空間中,可用代表一個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題。 從1861年有人導(dǎo)出球在水平面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)方程開(kāi)始,到1899年阿佩爾在《理性力學(xué)》中提出阿佩爾方程為止,基本上已完成了線性非完整約束的理論。 20世紀(jì)分析力學(xué)對(duì)非線性、不定常、變質(zhì)量等力學(xué)系統(tǒng)作了進(jìn)一步研究,對(duì)于運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題作了廣泛的研究。
分類(lèi)
分析力學(xué)又分為拉格朗日力學(xué)或哈密頓力學(xué)。前者以拉格朗日量刻劃力學(xué)系統(tǒng),運(yùn)動(dòng)方程稱(chēng)為拉格朗日方程,后者以哈密頓量刻劃力學(xué)系統(tǒng),運(yùn)動(dòng)方程為哈密頓正則方程。 分析力學(xué)是適合于研究宏觀現(xiàn)象的力學(xué)體系,它的研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系可視為宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型,例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點(diǎn)系,質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由一到無(wú)窮。又如太陽(yáng)系可看作自由質(zhì)點(diǎn)系,星體間的相互作用是萬(wàn)有引力,研究太陽(yáng)系中行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的天體力學(xué),同分析力學(xué)密切相關(guān),在方法上互相促進(jìn);工程上的力學(xué)問(wèn)題大多數(shù)是約束的質(zhì)點(diǎn)系,由于約束方程類(lèi)型的不同,就形成了不同的力學(xué)系統(tǒng)。例如,完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。 基本原理
有虛功原理和達(dá)朗伯原理。前者是分析靜力學(xué)的基礎(chǔ);兩者結(jié)合,可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程,從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力方程。
研究的對(duì)象
是質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系可視為一切宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合
體都可看作質(zhì)點(diǎn)系,質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由 1到無(wú)窮。又如太陽(yáng)系可看作自由質(zhì)點(diǎn)系。研究太陽(yáng)系中行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的天體力學(xué)同分析力學(xué)密切相關(guān),在方法上互相促進(jìn)。分析力學(xué)對(duì)于具有約束的質(zhì)點(diǎn)系的求解更為優(yōu)越,因?yàn)橛辛思s束方程,系統(tǒng)的自由度就可減少,運(yùn)動(dòng)微分方程組的階數(shù)隨之降低,更易于求解。
主要內(nèi)容
導(dǎo)出各種力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力方程,如完整系統(tǒng)的拉格朗日方程、正則方程,非完整系統(tǒng)的阿佩爾方程等;
研究力學(xué)的變分原理,如哈密頓原理、最小作用量原理等;尋求各種力學(xué)定理和積分,如對(duì)應(yīng)于可遺坐標(biāo)的廣義動(dòng)量積分等;探討各種動(dòng)力方程的求解方法以及一切與這個(gè)目標(biāo)靠近的理論,例如研究正則變換以求解正則方程;研究相空間代表點(diǎn)的軌跡,以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。 在量子力學(xué)未建立以前,物理學(xué)家曾用分析力學(xué)研究微觀現(xiàn)象的力學(xué)問(wèn)題。從1923年起,量子力學(xué)開(kāi)始建立并逐步完善,才在微觀現(xiàn)象的研究領(lǐng)域中取代了分析力學(xué)。但是,掌握分析力學(xué)的一些基本知識(shí)有助于學(xué)好量子力學(xué)。例如用分析力學(xué)知識(shí)求出哈密頓函數(shù),再化成哈密頓算符,又自哈密頓-雅可比方程化成波動(dòng)力學(xué)的基本方程──薛定諤方程等。 A.愛(ài)因斯坦提出相對(duì)論時(shí),也曾把分析力學(xué)的一些方法應(yīng)用于研究速度接近光速的相對(duì)論力學(xué)。 發(fā)源
從十八世紀(jì)開(kāi)始,在力學(xué)發(fā)展史上又出現(xiàn)了與矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的另一力學(xué)體系,即分析力學(xué)。這個(gè)體系的特點(diǎn)是對(duì)能量與功的分析代替對(duì)力與力矩的分析。為了避免未知理想約束力的出現(xiàn),分析力學(xué)的一種方法是在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關(guān)系,導(dǎo)出了比矢量力學(xué)一般方法程式化更為明顯的動(dòng)力學(xué)方程-拉格朗日第一類(lèi)方程。分析力學(xué)的另一種方法是從獨(dú)立坐標(biāo)出發(fā),利用純數(shù)學(xué)分析方法,將用獨(dú)立坐標(biāo)描述的動(dòng)力學(xué)方程用統(tǒng)一的原理與公式進(jìn)行表達(dá),克服了在矢量動(dòng)力學(xué)中建立這種方程依賴技巧的缺點(diǎn)。這種統(tǒng)一的方程即拉格朗日第二類(lèi)方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程為基礎(chǔ)的分析力學(xué),稱(chēng)為拉格朗日力學(xué)。1834年哈密頓(Hamilton)將拉格朗日第二類(lèi)方程變換成一種正則形式,將動(dòng)力學(xué)基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理,從而建立了哈密頓力學(xué)。 對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),盡管建立該系統(tǒng)的拉格朗日第二類(lèi)方程或哈密頓正則方程不依賴于技巧,但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程相當(dāng)繁瑣,因此用來(lái)建立自由度比較多的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程相當(dāng)困難,并且容易出錯(cuò)。利用拉格朗日第一類(lèi)方程解決系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,與矢量動(dòng)力學(xué)的一般方法一樣,盡管建立方程比較容易,但其求解規(guī)模很大。正是由于這個(gè)原因,在力學(xué)發(fā)展史上因拉格朗日第一類(lèi)方程并不比矢量動(dòng)力學(xué)一般方法優(yōu)越,而被擱置一邊。
隨著近代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,解決具有程式化特征的數(shù)學(xué)問(wèn)題,規(guī)模再大也能迎刃而解。故解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的拉格朗日第一類(lèi)方程又引起廣泛的注意??梢赃@樣說(shuō)目前在解決復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題成功的計(jì)算機(jī)輔助分析軟件中,均采用拉格朗日第一類(lèi)方程與加速度約束方程作為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。
1834年,漢密爾頓推得用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示的動(dòng)力學(xué)方程,稱(chēng)為正則方程。漢密爾頓體系在多維空間中,可用代表一個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題。 哈密頓原理
哈密頓原理(應(yīng)該就是上文的漢密爾頓原理)是分析力學(xué)中的一條公理,無(wú)法再用更基本的理論推導(dǎo)出,其正確性只能由其解決的問(wèn)題來(lái)證明。
下面介紹完整有勢(shì)系的哈密頓原理。首先定義拉格朗日函數(shù)L(lagrangian function) 再定義一個(gè)泛函,稱(chēng)為作用量S(action) 在完整有勢(shì)系中,物體真實(shí)的運(yùn)動(dòng)一定會(huì)使作用量S取極值
應(yīng)用
一般力學(xué)的一個(gè)分支。以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變量,以虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ),運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問(wèn)題。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力學(xué)》為這門(mén)學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。1834年和1843年W.R.哈密頓建立了哈密頓原理和正則方程,把分析力學(xué)推進(jìn)一步。1894年H.R.赫茲提出將約束和系統(tǒng)分成完整的和非完整的兩大類(lèi),從此開(kāi)始非完整系統(tǒng)分析力學(xué)的研究。分析力學(xué)的基本內(nèi)容是闡述力學(xué)的普遍原理,由這些原理出發(fā)導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系的基本運(yùn)動(dòng)微分方程,并研究這些方程本身以及它們的積分方法。近20年來(lái),又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點(diǎn)來(lái)研究分析力學(xué)的原理和方法。分析力學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)的基礎(chǔ)之一,也是整個(gè)力學(xué)的基礎(chǔ)之一。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)、航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域,也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)。