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分析力學(xué)是力學(xué)中的一個(gè)分支，它以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變量，以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法來研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問題。1788年，J.-L.拉格朗日出版了《分析力學(xué)》一書，為這門學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。 分析力學(xué)是一種非常有用的工具，它通過對(duì)物體之間的相互作用進(jìn)行建模和分析，可以幫助我們更好地理解物體的運(yùn)動(dòng)和力學(xué)行為。它的應(yīng)用范圍非常廣泛，包括天體力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)等等。 然而，分析力學(xué)也有一些限制。例如，它通常只適用于宏觀世界的力學(xué)問題，對(duì)于微觀世界的量子力學(xué)問題則不適用。此外，分析力學(xué)需要假設(shè)物體之間的相互作用是局部的，這意味著它無法處理非局部的相互作用的問題。 總之，分析力學(xué)是一個(gè)非常有價(jià)值的工具，它為我們提供了研究力學(xué)問題的一種有效方法，但在應(yīng)用時(shí)也需要考慮它的限制。分析力學(xué)
1788年牛頓提出的理論力學(xué)
分析力學(xué)（analytical mechanics）一般力學(xué)的一個(gè)分支，以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù)，以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問題。1788年出版的 J.-L.拉格朗日的《分析力學(xué)》一書，為這門學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。
基本信息
中文名
分析力學(xué)
外文名
analytical mechanics
提出者
牛頓
提出時(shí)間
1788年
適用領(lǐng)域
力學(xué)
出處
《分析力學(xué)》
性質(zhì)
理論力學(xué)的一個(gè)分支，它通過用廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法，研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問題
拼音
fèn xī lì xué
基本概況
經(jīng)典力學(xué)最初的表達(dá)形式由牛頓給出，大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學(xué)（有時(shí)也叫“牛頓力學(xué)”）。拉格朗日，哈密頓，雅可比等人使用廣義坐標(biāo)和變分法，建立了一套同矢量力學(xué)等效的力學(xué)表述方法。同矢量力學(xué)相比，分析力學(xué)的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學(xué)中極為復(fù)雜的問題，運(yùn)用分析力學(xué)可以較為簡便的解決。分析力學(xué)的方法可以推廣到量子力學(xué)系統(tǒng)和復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，在量子力學(xué)和非線性動(dòng)力學(xué)中都有重要應(yīng)用。
不同的系統(tǒng)所遵循的運(yùn)動(dòng)微分方程不同；研究大量粒子的系統(tǒng)需用統(tǒng)計(jì)力學(xué)；量子效應(yīng)不能忽略的過程需用量子力學(xué)研究。但分析力學(xué)知識(shí)在統(tǒng)計(jì)力學(xué)和量子力學(xué)中仍起著重要作用。
1788年拉格朗日出版的《分析力學(xué)》是世界上最早的一本分析力學(xué)的著作。分析力學(xué)是建立在虛功原理和達(dá)朗貝爾原理的基礎(chǔ)上。兩者結(jié)合，可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力方程。
1760～1761年，拉格朗日用這兩個(gè)原理和理想約束結(jié)合，得到了動(dòng)力學(xué)的普遍方程，幾乎所有的分析力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程都是從這個(gè)方程直接或間接導(dǎo)出的。
1834年，哈密頓推得用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示的動(dòng)力學(xué)方程，稱為正則方程。哈密頓體系在多維空間中，可用代表一個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學(xué)問題。
20世紀(jì)分析力學(xué)對(duì)非線性、不定常、變質(zhì)量等力學(xué)系統(tǒng)作了進(jìn)一步研究，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問題作了廣泛的研究。
分類
分析力學(xué)又分為拉格朗日力學(xué)或哈密頓力學(xué)。前者以拉格朗日量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程稱為拉格朗日方程，后者以哈密頓量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程為哈密頓正則方程。
分析力學(xué)是適合于研究宏觀現(xiàn)象的力學(xué)體系，它的研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系可視為宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由一到無窮。又如太陽系可看作自由質(zhì)點(diǎn)系，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽系中行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的天體力學(xué)，同分析力學(xué)密切相關(guān)，在方法上互相促進(jìn)；工程上的力學(xué)問題大多數(shù)是約束的質(zhì)點(diǎn)系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學(xué)系統(tǒng)。例如，完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。
基本原理
有虛功原理和達(dá)朗伯原理。前者是分析靜力學(xué)的基礎(chǔ)；兩者結(jié)合，可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力方程。
研究的對(duì)象
是質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系可視為一切宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合
體都可看作質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由 1到無窮。又如太陽系可看作自由質(zhì)點(diǎn)系。研究太陽系中行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的天體力學(xué)同分析力學(xué)密切相關(guān)，在方法上互相促進(jìn)。分析力學(xué)對(duì)于具有約束的質(zhì)點(diǎn)系的求解更為優(yōu)越，因?yàn)橛辛思s束方程，系統(tǒng)的自由度就可減少，運(yùn)動(dòng)微分方程組的階數(shù)隨之降低，更易于求解。
主要內(nèi)容
導(dǎo)出各種力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力方程，如完整系統(tǒng)的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統(tǒng)的阿佩爾方程等；
研究力學(xué)的變分原理，如哈密頓原理、最小作用量原理等；尋求各種力學(xué)定理和積分，如對(duì)應(yīng)于可遺坐標(biāo)的廣義動(dòng)量積分等；探討各種動(dòng)力方程的求解方法以及一切與這個(gè)目標(biāo)靠近的理論，例如研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點(diǎn)的軌跡，以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。
在量子力學(xué)未建立以前，物理學(xué)家曾用分析力學(xué)研究微觀現(xiàn)象的力學(xué)問題。從1923年起，量子力學(xué)開始建立并逐步完善，才在微觀現(xiàn)象的研究領(lǐng)域中取代了分析力學(xué)。但是，掌握分析力學(xué)的一些基本知識(shí)有助于學(xué)好量子力學(xué)。例如用分析力學(xué)知識(shí)求出哈密頓函數(shù)，再化成哈密頓算符，又自哈密頓-雅可比方程化成波動(dòng)力學(xué)的基本方程──薛定諤方程等。
發(fā)源
從十八世紀(jì)開始，在力學(xué)發(fā)展史上又出現(xiàn)了與矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的另一力學(xué)體系，即分析力學(xué)。這個(gè)體系的特點(diǎn)是對(duì)能量與功的分析代替對(duì)力與力矩的分析。為了避免未知理想約束力的出現(xiàn)，分析力學(xué)的一種方法是在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關(guān)系，導(dǎo)出了比矢量力學(xué)一般方法程式化更為明顯的動(dòng)力學(xué)方程－拉格朗日第一類方程。分析力學(xué)的另一種方法是從獨(dú)立坐標(biāo)出發(fā)，利用純數(shù)學(xué)分析方法，將用獨(dú)立坐標(biāo)描述的動(dòng)力學(xué)方程用統(tǒng)一的原理與公式進(jìn)行表達(dá)，克服了在矢量動(dòng)力學(xué)中建立這種方程依賴技巧的缺點(diǎn)。這種統(tǒng)一的方程即拉格朗日第二類方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程為基礎(chǔ)的分析力學(xué)，稱為拉格朗日力學(xué)。1834年哈密頓(Hamilton)將拉格朗日第二類方程變換成一種正則形式，將動(dòng)力學(xué)基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理，從而建立了哈密頓力學(xué)。
對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，盡管建立該系統(tǒng)的拉格朗日第二類方程或哈密頓正則方程不依賴于技巧，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程相當(dāng)繁瑣，因此用來建立自由度比較多的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程相當(dāng)困難，并且容易出錯(cuò)。利用拉格朗日第一類方程解決系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，與矢量動(dòng)力學(xué)的一般方法一樣，盡管建立方程比較容易，但其求解規(guī)模很大。正是由于這個(gè)原因，在力學(xué)發(fā)展史上因拉格朗日第一類方程并不比矢量動(dòng)力學(xué)一般方法優(yōu)越，而被擱置一邊。
隨著近代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，解決具有程式化特征的數(shù)學(xué)問題，規(guī)模再大也能迎刃而解。故解決動(dòng)力學(xué)問題的拉格朗日第一類方程又引起廣泛的注意。可以這樣說目前在解決復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問題成功的計(jì)算機(jī)輔助分析軟件中，均采用拉格朗日第一類方程與加速度約束方程作為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。
1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示的動(dòng)力學(xué)方程，稱為正則方程。漢密爾頓體系在多維空間中，可用代表一個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學(xué)問題。
哈密頓原理
哈密頓原理（應(yīng)該就是上文的漢密爾頓原理）是分析力學(xué)中的一條公理，無法再用更基本的理論推導(dǎo)出，其正確性只能由其解決的問題來證明。
再定義一個(gè)泛函，稱為作用量S（action）
在完整有勢系中，物體真實(shí)的運(yùn)動(dòng)一定會(huì)使作用量S取極值
應(yīng)用
一般力學(xué)的一個(gè)分支。以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變量，以虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問題。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力學(xué)》為這門學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。1834年和1843年W.R.哈密頓建立了哈密頓原理和正則方程，把分析力學(xué)推進(jìn)一步。1894年H.R.赫茲提出將約束和系統(tǒng)分成完整的和非完整的兩大類，從此開始非完整系統(tǒng)分析力學(xué)的研究。分析力學(xué)的基本內(nèi)容是闡述力學(xué)的普遍原理，由這些原理出發(fā)導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系的基本運(yùn)動(dòng)微分方程，并研究這些方程本身以及它們的積分方法。近20年來，又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點(diǎn)來研究分析力學(xué)的原理和方法。分析力學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)的基礎(chǔ)之一，也是整個(gè)力學(xué)的基礎(chǔ)之一。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)、航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)。
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