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一次函數(shù)
本詞條是多義詞，共2個義項
高中解析幾何的基石
一次函數(shù)是函數(shù)中的一種，一般形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，k≠0），其中x是自變量，y是因變量。特別地，當(dāng)b=0時，y=kx（k為常數(shù)，k≠0），y叫做x的正比例函數(shù)（direct proportion function）。
一次函數(shù)及其圖象是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內(nèi)容。
基本信息
| 中文名 | 一次函數(shù) |
| 外文名 | Linear function |
| 表達(dá)式 | y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0） |
| 提出者 | 萊布尼茨 |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 數(shù)學(xué) 科學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 計算機，數(shù)學(xué) |
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函數(shù)由來
“函數(shù)”一詞最初是由德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨在17世紀(jì)首先采用的，當(dāng)時萊布尼茨用“函數(shù)”這一詞來表示變量x的冪，即
，
，….接下來萊布尼茨又將“函數(shù)”這一詞用來表示曲線上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關(guān)的變量。就這樣“函數(shù)”這詞逐漸盛行。
在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，清代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家，近代科學(xué)的先驅(qū)者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)。”中國的古代人還用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數(shù)或變量，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù)。”這樣，在中國“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思。
一次函數(shù)
瑞士數(shù)學(xué)家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數(shù)定義.1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了函數(shù)了如下的函數(shù)定義：由任一變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構(gòu)成的量叫做這一變數(shù)的函數(shù)。換句話說，由x和常量所構(gòu)成的任一式子都可稱之為關(guān)于x的函數(shù)。
1775年，歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量：以某一種方式依賴于另一些變量。即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù).”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函數(shù)概念，都還是和解析表達(dá)式、曲線表達(dá)式等概念糾纏在一起。
首屈一指的法國數(shù)學(xué)家柯西引入了新的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其它變數(shù)的值也可隨之而確定時，則將最初的變數(shù)稱之為‘自變數(shù)’，其它各變數(shù)則稱為‘函數(shù)’”.在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了“自變量”一詞。
1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應(yīng)關(guān)系。即條件的必要性，利用這個關(guān)系以求出每一個x的對應(yīng)值。
1837年德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)。”
德國數(shù)學(xué)家黎曼引入了函數(shù)的新定義：“對于x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應(yīng)，而不拘建立x，y之間的對應(yīng)方法如何，均將y稱為x的函數(shù)?！?/span>
上面函數(shù)概念的演變，我們可以知道，函數(shù)的定義必須抓住函數(shù)的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。
由此，就有了我們課本上的函數(shù)的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。
表示方法
一次函數(shù)有三種表示方法，如下：
1、解析式法
一次函數(shù)
用含自變量x的式子表示函數(shù)的方法叫做解析式法。
2、列表法
把一系列x的值對應(yīng)的函數(shù)值y列成一個表來表示的函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。
3、圖像法
用圖象來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。
解析式
一次函數(shù)的解析式為：
其中m是斜率，不能為0；x表示自變量，b表示y軸截距。且m和b均為常數(shù)。先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的斜率，從而得出解析式。該解析式類似于直線方程中的斜截式。
基本性質(zhì)
函數(shù)性質(zhì)
1. y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：
（k不等于0，且k，b為常數(shù)）。
2. 當(dāng)
時，b為函數(shù)在y軸上的交點，坐標(biāo)為(
)。
3. k為一次函數(shù)
的斜率，
(角θ為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角，
)。
5. 函數(shù)圖象性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；
一次函數(shù)
當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交于Y軸；
6. 平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。
圖像性質(zhì)
1. 作法與圖形：通過如下3個步驟：
（1）列表：每確定自變量x的一個值，求出因變量y的一個值，并列表；
（2）描點：一般取兩個點，根據(jù)“兩點確定一條直線”的道理，即在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點。
一般地，
的圖象過
和
兩點即可畫出。
正比例函數(shù)
的圖象是過坐標(biāo)原點的一條直線，一般取
和
兩點畫出。
（3）連線：可以作出一次函數(shù)的圖象——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖象只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖象與x軸和y軸的交點分別是與，
）
2. 性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點
，都滿足等式：
。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是
，與x軸總是交于正比例函數(shù)的圖象都是過原點。
3. 函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系。
4. k，b與函數(shù)圖象所在象限：
y=kx時（即b等于0，y與x成正比，此時的圖象是一條經(jīng)過原點的直線)
一次函數(shù)
當(dāng)k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當(dāng)k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當(dāng) 
這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限；
當(dāng) 
這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限；
當(dāng) 
這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限；
當(dāng)
這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限。
當(dāng)
時，直線必通過一、二象限；
當(dāng)
時，直線必通過三、四象限。
特別地，當(dāng)
時，直線通過原點
表示的是正比例函數(shù)的圖象。
這時，當(dāng)
時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當(dāng)k<0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。
5. 特殊位置關(guān)系
6. 直線的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：
結(jié)論：時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。
7. 將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為
，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為
，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為
，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為
。
位置關(guān)系
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中k的值（即一次項系數(shù)）相等；
關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析式中K值互為相反數(shù)的證明：
一次函數(shù)
如圖，這2個函數(shù)互相垂直，但若直接證明，存在困難，不易理解，如果平移平面直角坐標(biāo)系，使這2個函數(shù)的交點交于原點，就會更簡單。就像這一樣，可以設(shè)這2個函數(shù)的表達(dá)式分別為；
又有
，得
化簡得：
即
所以兩個K值的乘積為-1。
學(xué)習(xí)方法
知識要點
1.要理解函數(shù)的意義。
2.聯(lián)系實際對函數(shù)圖象的理解。
3.隨圖象理解數(shù)字的變化而變化。
誤區(qū)提醒
1.對一次函數(shù)概念理解有誤，漏掉一次項系數(shù)不為0這一限制條件；
2.對一次函數(shù)圖象和性質(zhì)存在思維誤區(qū)；
3.忽略一次函數(shù)自變量取值范圍；(有時x∈Z ,其圖象表現(xiàn)為非連續(xù)性的點的集合）
一次函數(shù)
4.對于一次函數(shù)中，把自變量認(rèn)為不能等于零。
函數(shù)應(yīng)用
概括整合
（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵。
常用公式
1.求函數(shù)圖象的k值：
，即
（α為直線與x軸正方向的夾角）
2.求與x軸平行線段的中點：
3.求與y軸平行線段的中點：
4.求任意線段的長度：
5.求兩個一次函數(shù)式圖像交點坐標(biāo)：解兩函數(shù)式
一次函數(shù)
兩個一次函數(shù)
，
，令
，得
。將解得的
值代回，兩式的任一式，得到
，則
即為 y與之交點坐標(biāo)。
7.求任意2點的連線的一次函數(shù)解析式：
（若分母為0，則分子為0）
(x,y)的正負(fù)性為 +，+（正，正）時該點在第一象限
(x,y)的正負(fù)性為 -，+（負(fù)，正）時該點在第二象限
(x,y)的正負(fù)性為 - ，-（負(fù)，負(fù)）時該點在第三象限
(x,y)的正負(fù)性為 +，-（正，負(fù)）時該點在第四象限
8.若兩條直線，互相平行，則
，
9.如兩條直線，互相垂直，則
10.設(shè)原直線為
一次函數(shù)
口訣：左加右減相對于X，上加下減相對于b。
11.直線與x軸的交點：，與y軸的交點：
生活中的應(yīng)用
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。
。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。
。
3.當(dāng)彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物后的長度y是重物重量x的一次函數(shù)，即（k為任意正數(shù)）。
常見題型
常見題型一次函數(shù)及其圖象是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內(nèi)容。
一. 定義型
例1. 已知函數(shù)
是一次函數(shù)，求其解析式。
解：由一次函數(shù)定義而知
一次函數(shù)
注意：利用定義求一次函數(shù)解析式時，要保證
。如本例中應(yīng)保證
。
二. 點斜型
例2. 已知一次函數(shù)
的圖象過點(2, -1)，求這個函數(shù)的解析式。
解：一次函數(shù) 的圖象過點(2, -1)， ，即
。故這個一次函數(shù)的解析式為
。
變式問法：已知一次函數(shù) ，當(dāng)
時，
時，求這個函數(shù)的解析式。
三. 兩點型
例3.已知某個一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別是(-2, 0)、(0, 4)，則這個函數(shù)的解析式為_____。
解：設(shè)一次函數(shù)解析式為
由題意得
故這個一次函數(shù)的解析式為
。
四. 圖像型
例4. 已知某個一次函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為__________。
解：設(shè)一次函數(shù)解析式為由圖可知一次函數(shù) 的圖象過點(1, 0)、(0, 2) 有 
所以
故這個一次函數(shù)的解析式為
五. 斜截型
例5. 已知直線與直線
平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為___________。
解析：兩條直線； 。當(dāng) ，
時，
∴直線與直線平行 。又 直線在y軸上的截距為2，故直線的解析式為
或
。
六. 平移型
例6. 把直線
向下平移2個單位得到的圖象解析式為___________。
解析：設(shè)函數(shù)解析式為 ，直線向下平移2個單位得到的直線與直線平行
直線在y軸上的截距為
，故圖象解析式為。
七. 實際應(yīng)用型
例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為___________。
解：由題意得
，即
一次函數(shù)
注意：求實際應(yīng)用型問題的函數(shù)關(guān)系式要寫出自變量的取值范圍，別忘了考慮變量存在等于0的情況。
八. 面積型
解：易求得直線與x軸交為止為止，所以
故直線解析式為
或
。
九. 對稱型
若直線 與直線關(guān)于
（1）x軸對稱，則直線 的解析式為
；
（2）y軸對稱，則直線 的解析式為
；
（3）直線
對稱，則直線 的解析式為；
（4）直線
對稱，則直線 的解析式為；
例9. 若直線l與直線
關(guān)于y軸對稱，則直線l的解析式為____________。
解：由（2）得直線l的解析式為
。
十. 開放型
例10. 已知函數(shù)的圖象過點A(1, 4)，B(2, 2)兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數(shù)解析式，并簡要說明解答過程。
解：
（2）由于A、B兩點的橫、縱坐標(biāo)的積都等于4，所以經(jīng)過A、B兩點的函數(shù)圖象還可以是雙曲線
，解析式為。
（3）其它（略）
十一. 幾何型
例11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B是x軸上的兩點，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點，若C點的坐標(biāo)為(0, 3)。（1）求圖象過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式，并求其對稱軸；（2）求圖象過點E、F的一次函數(shù)的解析式。
（2）連接OE、OF，過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析式為。
十二. 方程型
例12. 若方程
的兩根分別為，求經(jīng)過點P 和Q 的一次函數(shù)圖象的解析式
點P(11, 3)、Q(-11, 11)
設(shè)過點P、Q的一次函數(shù)的解析式為
則有
解得
故這個一次函數(shù)的解析式為。
其它相關(guān)
函數(shù)和方程
1. 從形式上看：一次函數(shù)，一元一次方程
。
2. 從內(nèi)容上看：一次函數(shù)表示的是一對(x, y)之間的關(guān)系，它有無數(shù)對值；一元一次方程表示的是未知數(shù)x的值，最多只有1個值。
3. 相互關(guān)系：一次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的一元一次方程的根。例如：
與x軸的交點是(-2, 0)、則一元一次方程
的根是
。
函數(shù)和不等式
解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合。
對應(yīng)一次函數(shù)，它與x軸交點為。
當(dāng)時，不等式
的解為：
，不等式
的解為：
；
當(dāng)
的解為：不等式的解為：，不等式的解為：。
1. 以二元一次方程組
的解為坐標(biāo)的點組成的圖象與一次函數(shù)
的圖象相同。
2. 二元一次方程組
,
的解可以看作是兩個一次函數(shù)
和
的圖象的交點。
方法小結(jié)
把方程組中的兩個二元一次方程改寫成一次函數(shù)的形式，然后作出它們的圖象，找出兩圖像的交點，即可知方程組的解。
區(qū)別
二元一次方程有兩個未知數(shù)，而一次函數(shù)只是說未知數(shù)的次數(shù)為一次，并未限定幾個變量，因此二元一次方程只是一次函數(shù)中的一種。
1. 面直角坐標(biāo)系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點，這些點都在相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象上。如方程
有無數(shù)組值，像
以這些解為坐標(biāo)的點(1, 3)，(2, 1)…都在一次函數(shù)
的圖象上。
2. 一次函數(shù)圖象上任取一點，它的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程。如在一次函數(shù)
的圖象上任取一點(3, -1)，則
一定是二元一次方程
的一組解。
參考資料
[1]
學(xué)習(xí)元·函數(shù)小史2014-09-23T00:00:00+08:00[引用日期2022-05-19 12:23:21]
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多項式函數(shù)
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五次函數(shù)
一般的，形如f（x）=ax+bx+cx+dx+ex+f（a≠0）的函數(shù)叫作五次函數(shù)。a、b、c、d、e、f對應(yīng)為其的五、四、三、二、一次項系數(shù)與常數(shù)。
四次函數(shù)
數(shù)學(xué)中的概念
三次函數(shù)
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高中解析幾何的基石——一次函數(shù)
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【一次函數(shù)】 06 一次函數(shù)圖象的性質(zhì)
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作者
